So wie eine Lupe Sammellinse die Sonnenstrahlen in einem Punkt fokussiert, wo dann ein Streichholz entzündet werden kann, so werden bei einer Ellipse alle von einem Brennpunkt ausgehenden Strahlen — nennen wir sie Brennstrahlen — in den anderen Brennpunkt reflektiert.
Es gilt nämlich der Satz:
Die Zeichnung zeigt einen Ellipsenpunkt \(P\) und eine Winkelhalbierende \(w\) der Brennstrahlen \([F_1P\) und \([F_2P\). Spiegelt man den Brennpunkt \(F_1\) an \(w\), so liegt (wegen Achsensymmetrie) der Spiegelpunkt \(F_1'\) auf \([F_2P\) mit: $$\overline{PF_1}=\overline{PF_1'}$$ Mit \(\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a\) (\(P\) liegt auf der Ellipse) gilt also auch \(\overline{PF_1'}+\overline{PF_2}=2a\) und somit $$\overline{F_2F_1'}=2a$$
Für jeden von \(P\) verschiedenen Punkt \(Q \in w\) gilt dann (Dreiecksungleichung): $$\overline{QF_1}+\overline{QF_2}=\overline{QF_1'}+\overline{QF_2}\gt\overline{F_2F_1'}=2a$$ Also gilt \(\overline{QF_1}+\overline{QF_2} \gt 2a \Rightarrow Q\) liegt außerhalb der Ellipse. \(\Rightarrow w\) ist die Tangente im Punkt \(P\).
Weil die beiden Winkelhalbierenden einer Geradenkreuzung aufeinander senkrecht stehen, ist die Normale der Ellipse im Punkt \(P\) die andere Winkelhalbierende der Brennstrahlen. \(\alpha\) und \(\beta\) sind also gleich große Einfalls- und Ausfallswinkel.
Bei einem ellipsenförmigen Spiegel treffen sich demnach alle von einem Brennpunkt ausgehenden Lichtsignale im anderen Brennpunkt. Dabei sind sie alle gleich weit (nämlich 2\(a\)) und damit gleich lang unterwegs. In \(F_1\) phasengleich ausgesandte Wellen landen also ohne Gangunterschied phasengleich in \(F_2\), wo sie konstruktiv interferieren. Das nutzt man beispielsweise in Teleskopen, Profilscheinwerfern oder ...
In Flüstergewölben (beispielsweise der Kuppel von St. Paul in London oder der Vorhalle der Würzburger Residenz) überspannt eine elliptisch gewölbte Decke zwei Räume so, dass in jedem Raum ein Brennpunkt liegt. Findet ein (geflüstertes) Gespräch im Brennpunkt des einen Raumes statt, dann kann man es im Brennpunkt des anderen Raumes abhören. Heutzutage erledigen "Alexa" oder "Siri" solche Lauschangriffe viel unauffälliger.
erstellt von C. Wolfseher mit GeoGebra