Wie kommt der Sinus in die Steckdose?

Eine Leiterschleife umfasst den Flächeninhalt \(A\) und rotiert gleichförmig mit der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) im homogenen Magnetfeld der Flussdichte \(B\). Durch Änderung des magnetischen Flusses \(\Phi\) wird dabei eine Spannung \(U_i\) induziert.

Die vom Magnetfeld senkrecht durchflutete Fläche \(A_s\) ändert sich mit dem Drehwinkel \(\varphi\): $$A_s=A \cdot \cos \varphi$$

Dreht sich die Leiterschleife mit der Winkelgeschwindigkeit \(\omega=\frac{\varphi}{t}\), so gilt für den Drehwinkel: $$\varphi=\omega\cdot t$$ Das Induktionsgesetz liefert dann die an den Leiterenden anliegende Induktionsspannung:

\begin{align} U_{i} &= -\dot{\Phi}\\ \, &= \cssId{Step1}{-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(B\cdot A_s\right)}\\ \, &= \cssId{Step2}{-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(B\cdot A\cdot\cos \varphi\right)}\\ \, &= \cssId{Step3}{-B\cdot A \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\cos(\omega\cdot t)}\\ \, &= \cssId{Step4}{-B\cdot A \cdot \left(-\omega\cdot\sin(\omega\cdot t)\right)}\\ \, &= \cssId{Step5}{\underbrace{B\cdot A \cdot \omega}_{U_0}\cdot\sin(\omega\cdot t)} \end{align}

Bei \(N\) hintereinander geschalteten Leiterschleifen in Form einer Spule addieren sich die Induktionsspannungen der einzelnen Windungen. Die an den Spulenenden induzierte Gesamtspannung wechselt mit der Drehfrequenz \(f=\frac{\omega}{2\pi}\) der Spule sinusförmig zwischen dem positiven und negativen Scheitelwert