Herleitung der Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises

Mit der Formel \(U=2\pi\cdot r\) zur Berechung des Umfangs \(U\) eines Kreises mit dem Radius \(r\) können wir eine Formel für seinen Flächeninhalt herleiten. Dazu zerlegen wir den Kreis zunächst in \(n\) gleiche Sektoren und ordnen sie zu einer neuen Figur an:

Mit steigender Anzahl \(n\) der Sektoren nähert sich diese Figur einem Rechteck an.

Der Kreis und dieses Rechteck haben den gleichen Flächeninhalt, also gilt:

\begin{align} A_{Kreis} &= A_{Rechteck}\\ \, &= \cssId{Step1}{\frac{1}{2}U \cdot r}\\ \, &= \cssId{Step2}{\frac{1}{2} \cdot2\pi\cdot r \cdot r}\\ \, &= \cssId{Step3}{\pi\cdot r^2} \end{align}

Ein Kreis mit dem Radius \(r\) hat den Flächeninhalt \(A=\pi\cdot r^2\).

Und wie berechnet man die Kreiszahl \(\pi\)?

erstellt von C. Wolfseher mit GeoGebra