Angenommen die Quarzuhr unseres Navis geht im Vergleich zur Atomuhr des Satelliten um \(\Delta t = \)1 Millisekunde vor.
Zuerst die schlechte Nachricht: Dann benutzt das Navi zur Positionsberechnung eine um \(\Delta r = c \cdot \Delta t =\) 300 km zu lange Entfernung \(r\) zum Satelliten! Teste selbst:
Die gute Nachricht: Dann tut es das auch bei allen anderen Satelliten deren Atomuhren ja stets synchron gehalten werden ! Statt der korrekten Entfernungen \(r_1\), \(r_2\) und \(r_3\) zu den Satelliten \(S_1\), \(S_2\) und \(S_3\) errechnet das Navi die Pseudostrecken vom wahren Wert abweichenden \(\rho_1 = r_1 + \Delta r\), \(\rho_2 = r_2 + \Delta r\) und \(\rho_3 = r_3 + \Delta r\).
Misst das Navi also eine Pseudoentfernung \(\rho\), dann ist die wahre Entfernung \(r = \rho - \Delta r\). Um die Ortskoordinaten \(x\), \(y\) und \(z\) des Empfängers zu berechnen, müssen wir im zur Trilateration gehörigen Gleichungssytem also nur \(r_i\) durch \(\rho_i - \Delta r \ (i = 1,2,3)\) ersetzen: $$\begin{matrix} (x - x_{S_1})^2 + (y - y_{S_1})^2 + (z - z_{S_1})^2 = {(\rho_1 - \Delta r)}^2 \quad (1) \\ (x - x_{S_2})^2 + (y - y_{S_2})^2 + (z - z_{S_2})^2 = {(\rho_2 - \Delta r)}^2 \quad (2)\\ (x - x_{S_3})^2 + (y - y_{S_3})^2 + (z - z_{S_3})^2 = {(\rho_3 - \Delta r)}^2 \quad (3)\\ \end{matrix}$$
Da wir aber die Zeitabweichung \(\Delta t\) der Navi-Uhr und damit die Längenabweichung \(\Delta r = c \cdot \Delta t\) nicht kennen, enthalten diese drei Gleichungen vier Unbekannte: \(x\), \(y\), \(z\) und \(\Delta r\). Eine zuviel!
Nicht, wenn wir noch einen vierten Satelliten \(S_4\) hinzuziehen:
$$\begin{matrix} (x - x_{S_1})^2 + (y - y_{S_1})^2 + (z - z_{S_1})^2 = {(\rho_1 - \Delta r)}^2 \quad (1)
\\ (x - x_{S_2})^2 + (y - y_{S_2})^2 + (z - z_{S_2})^2 = {(\rho_2 - \Delta r)}^2 \quad (2)\\
(x - x_{S_3})^2 + (y - y_{S_3})^2 + (z - z_{S_3})^2 = {(\rho_3 - \Delta r)}^2 \quad (3)\\
(x - x_{S_4})^2 + (y - y_{S_4})^2 + (z - z_{S_4})^2 = {(\rho_4 - \Delta r)}^2 \quad (4)\\ \end{matrix}$$
Vier Gleichungen – vier Unbekannte –
lösbar
Das nichtlineare Gleichungssystem ist nicht ganz einfach zu knacken, aber dafür hat das Navi einen Taschenrechner
eingebaut.
!
Neben den Ortskoordinaten \(x\), \(y\) und \(z\) unseres Navis enthält die Lösung dieses Gleichungssystems – sozusagen als Sahnehäubchen – noch \(\Delta r\) und damit
die Zeitabweichung \(\Delta t = \frac{\Delta r}{c}\) der Navi-Uhr von der supergenauen Satelliten-Zeit.
Ein GNSS liefert also nicht nur den Standort sondern auch die (atom-)genaue Uhrzeit!
Dazu müssen aber jederzeit und überall mindestens 4 Satelliten in Sicht sein.
erstellt von C. Wolfseher