Bei einem geraden zentralen Stoß Die Wechselwirkungskräfte während des Stoßes wirken parallel zur Bewegungsrichtung. bewegen sich die Schwerpunkte beider Körper stets auf einer gemeinsamen Geraden. Die beiden Bewegungsrichtungen können dann mit einem Vorzeichen der Geschwindigkeit oder des Impulses unterschieden werden.
Man spricht von einem vollkommen unelastischen Stoß, wenn sich die wechselwirkenden Körper beim Aufprall verformen und dann verkeilt gemeinsam weiter bewegen.
Durch die Verformungsarbeit tritt ein Verlust an kinetischer Energie zugunsten innerer Energie auf.
| vor der Wechselwirkung | nach der Wechselwirkung | ||
| Körper 1 | Körper 2 | Körper 1+2 | |
| Masse | \(m_1\) | \(m_2\) | \(m_1+m_2\) |
| Geschwindigkeit | \(v_1\) | \(v_2\) | \(v^\prime\) |
| Impuls | \(p_1 = m_1 \cdot v_1\) | \(p_2 = m_2 \cdot v_2\) | \(p' = (m_1 + m_2) \cdot v'\) |
| Energie | \(\frac{1}{2}m_1\cdot {v_1}^2\) | \(\frac{1}{2}m_2\cdot {v_2}^2\) | \(\frac{1}{2} ({m_1} + {m_2}) \cdot {v^\prime}^2 + \Delta E_i\) |
Die Impulserhaltung liefert in diesem Fall die Gleichung $${m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2} = ({m_1} + {m_2}) \cdot {v^\prime}$$ und nach Division der Gleichung durch \(({m_1} + {m_2})\) die
Die Energieerhaltung liefert die Gleichung $$\frac{1}{2}m_1\cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2}m_2\cdot {v_2}^2 = \frac{1}{2} ({m_1} + {m_2}) \cdot {v^\prime}^2 + \Delta E_i$$ Aufgelöst nach \(\Delta E_i\) und nach Einsetzen von \(v'\) erhält man nach einigen Umformungen die
Auflösung der Gleichung für die Energieerhaltung nach \(\Delta E_i\):
$$ \begin{eqnarray}\Delta E_i &=& \frac{1}{2} {m_1} \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} {m_2} \cdot {v_2}^2 - \frac{1}{2} \left( {{m_1} + {m_2}} \right)\cdot {{v^\prime}^2}\\ &=& \frac{1}{2} \cdot \left( {{m_1} \cdot {v_1}^2 + {m_2} \cdot {v_2}^2 - \left( {{m_1} + {m_2}} \right)} \cdot {{v^\prime}^2} \right)\end{eqnarray} $$Einsetzen des aus der Impulserhaltung berechneten Terms \(\frac{{{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}\) für \(v^\prime\) und Vereinfachung:
$$ \begin{eqnarray}\Delta E_i &=& \frac{1}{2} \cdot \left( {{m_1} \cdot {v_1}^2 + {m_2} \cdot {v_2}^2 -\left( {{m_1} + {m_2}} \right) \cdot {{\left( {\frac{{{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}} \right)}^2}} \right)\\ &=& \frac{1}{2} \cdot \left( {{m_1} \cdot {v_1}^2 + {m_2} \cdot {v_2}^2 - \frac{{{{\left( {{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2}} \right)}^2}}}{{{m_1} + {m_2}}}} \right)\\ &=& \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{{\left( {{m_1} \cdot {v_1}^2 + {m_2} \cdot {v_2}^2} \right) \cdot \left( {{m_1} + {m_2}} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}} - \frac{{{{\left( {{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2}} \right)}^2}}}{{{m_1} + {m_2}}}} \right)\\ &=& \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{{{m_1}^2 \cdot {v_1}^2 + {m_1} \cdot {m_2} \cdot {v_2}^2 + {m_1} \cdot {m_2} \cdot {v_1}^2 + {m_2}^2 \cdot {v_2}^2}}{{{m_1} + {m_2}}} - \frac{{{m_1}^2 \cdot {v_1}^2 + 2 \cdot {m_1} \cdot {m_2} \cdot {v_1} \cdot {v_2} + {m_2}^2 \cdot {v_2}^2}}{{{m_1} + {m_2}}}} \right)\\ &=& \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{{{m_1} \cdot {m_2} \cdot {v_1}^2 - 2 \cdot {m_1} \cdot {m_2} \cdot {v_1} \cdot {v_2} + {m_1} \cdot {m_2} \cdot {v_2}^2}}{{{m_1} + {m_2}}}} \right)\\ &=& \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{{{m_1} \cdot {m_2} \cdot \left( {{v_1}^2 - 2 \cdot {v_1} \cdot {v_2} + {v_2}^2} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}}} \right)\\ &=& \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{{{m_1} \cdot {m_2} \cdot {{\left( {{v_1} - {v_2}} \right)}^2}}}{{{m_1} + {m_2}}}} \right)\\ &=& \frac{1}{2} \cdot \frac{{{m_1} \cdot {m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}} \cdot {\left( {{v_1} - {v_2}} \right)^2}\end{eqnarray} $$