Newton-Iterationsverfahren

Sei die gesuchte Nullstelle $x^*\in [a;b] \subseteq D_f$.

Wähle einen Startwert $x_0\in [a;b]$.
Nähere den Graphen von $f$ durch die Tangente im Punkt $P_0\left(x_0|f(x_0)\right)$ an.
Berechne die Nullstelle $x_1$ der Tangente. $x_1$ liegt dann meist näher an $x^*$ als $x_0$.
Wiederhole mit $x_1$ als neuem Startwert.

Algebraisch sieht das so aus:

Aufstellung der Gleichung der Tangente in $P_0\left(x_0|f(x_0)\right)$: $$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$$
Berechnung der Nullstelle $x_1$ der Tangente:
aus
$$ f(x_0)+f'(x_0)(x_1-x_0)=0$$ folgt (falls $f'(x_0) \ne 0$) $$ x_{1}=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)} $$
Wiederhole mit $x_1$ als neuem Startwert.

allgemein gilt:

Newton-Iterationsverfahren

Eine Nullstelle der differenzierbaren Funktion $f$ lässt sich meist mit folgender Iterationsvorschrift näherungweise ermitteln: $$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)},\quad n \in \mathbb{N}_0$$

Das Newton-Verfahren lässt sich (wie jedes Iterationsverfahren) mit einer Tabellenkalkulation umsetzen:

erstellt von C. Wolfseher mit GeoGebra