Die zeitunabhängige Schrödingergleichung für ein Elektron im eindimensionalen Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden lautet: $$-\frac{h^2}{8\pi^2\cdot m}\Psi^{''}(x)=E\cdot\Psi(x) $$
Als Lösungen dieser Differentialgleichung erhält man für einen Potentialtopf der Breite \(L\) unter Berücksichtigung der Randbedingungen \(\Psi(0)=\Psi(L)\stackrel{!}{=}0\) und der Normierungsbedingung \(\int_0^L{\left| \Psi(x) \right| ^2 dx}\stackrel{!}{=}1\) die Eigenfunktionen $$\Psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{n\cdot \pi}{L}\cdot x \right) \qquad (n=1,2,3, ...)$$ des Elektrons mit den zugehörigen Energieniveaus $$E_n = \frac{h^2}{8m\cdot L^2}\cdot n^2 \qquad (n=1,2,3, ...).$$
Das Quadrat \( \left| \Psi_n(x) \right| ^2 \) der Eigenfunktion ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, das Elektron im Energiezustand \(E_n\) bei \(x\) nachzuweisen.
Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit lässt sich mit Orbitalen darstellen. Je größer ihre Dichte an einem Ort ist, desto größer ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons an diesem Ort.
Im zweidimensionalen Potentialtopf, dessen Energiezustand sich auf eindimensionale Projektionen zurückführen lässt, wird das Elektron durch eine Wellenfunktion \(\Psi(x,y)\) in zwei Dimensionen beschrieben:
Die Knotenlinien geben die Orte an, an denen die Wahrscheinlichkeitsdichte stets null ist.
erstellt von C. Wolfseher