Zerfallsgesetz | Würfelsimulation

Wir spielen "radioaktiver Zerfall". Keine Sorge. Du benötigst keine gefährlichen Substanzen, nur möglichst viele Würfel In untenstehender Simulation starten wir mit 24 Würfeln. . Die Spielregeln sind ganz einfach:

Wirf alle Würfel gleichzeitig.
Würfel, die ⚅ zeigen, werden aussortiert.
Starte mit den restlichen Würfeln eine neue Runde.

Die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel eine ⚅ zu würfeln, ist $\frac{1}{6}$. Werfen wir $n$ Würfel gleichzeitig, sind im Mittel bei häufiger Wiederholung des Zufallsexperiments $\frac{1}{6}\cdot n$ Würfel mit der Augenzahl ⚅ zu erwarten Je größer $n$, desto besser werden unsere Erwartungen erfüllt. . Bleiben im Mittel Dieser Erwartungswert muss keine ganze Zahl sein. $\frac{5}{6}\cdot n$ Würfel für die nächste Runde. Die Theorie liefert also folgende Tabelle:

Runde Nr.	$0$	$1$	$2$	$3$	...	$r$
Anzahl Würfel	$24$	$24\cdot \frac{5}{6}$	$\left(24\cdot \frac{5}{6}\right)\cdot \frac{5}{6}$	$\left(\left(24\cdot \frac{5}{6}\right)\cdot \frac{5}{6}\right)\cdot \frac{5}{6}$	...	$24\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^r$

In der Praxis schwankt die Anzahl der nach jeder Runde verbleibenden Würfel natürlich zufällig um die theoretischen Werte. Außerdem ist sie immer ganzzahlig. Nichtsdestotrotz lässt sich beim Experimentieren mit obiger Simulation der Trend zur exponentiellen Abnahme gut erkennen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel eine Runde überlebt ist stets $1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$.
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Würfel $r$ Runden hintereinander überlebt ist $$\underbrace{\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\ldots\cdot\frac{5}{6}}_{r\text{ Faktoren}}={\left(\frac{5}{6}\right)}^{r}.$$ Da die Würfe unabhängig voneinander sind, multiplizieren sich die Wahrscheinlichkeiten. Beispielsweise überlebt der Würfel mit rund 3 % Wahrscheinlichkeit $r=20$ Runden.

Verallgemeinert gilt: Ausgehend von $N_0$ Würfeln und einer Wahrscheinlichkeit $p$, pro Spielrunde aussortiert zu werden, sind nach $r$ Runden noch rund $$N(r)=N_0 \cdot (1-p)^r$$ Würfel übrig.

Nun aber Schluss mit Spielchen. Sicher hast du die Analogie zum radioaktiven Zerfall längst erkannt:

Jeder Würfel stellt einen instabilen Atomkern dar.
Augenzahl ⚅ bedeutet den Zerfall des Kerns.
Eine Spielrunde entspricht jeweils der gleichen Zeitspanne $\Delta t$.

Obwohl der Zufall im Spiel ist, haben wir eine Gesetzmäßigkeit entdeckt: Das Zerfallsgesetz …

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erstellt von C. Wolfseher

Runde Nr.	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	...	\(r\)
Anzahl Würfel	\(24\)	\(24\cdot \frac{5}{6}\)	\(\left(24\cdot \frac{5}{6}\right)\cdot \frac{5}{6}\)	\(\left(\left(24\cdot \frac{5}{6}\right)\cdot \frac{5}{6}\right)\cdot \frac{5}{6}\)	...	\(24\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^r\)