🥳 Wirf Konfetti auf den Boden! Den Abstand der beiden am weitesten voneinander entfernten Konfettischnipsel nennen wir \(d\). Bei manchen Würfen liegen alle Schnipsel im Kreis Auf dem Kreis lassen wir auch gelten. mit dem Durchmesser \(d\). Oft gibt es aber Ausreißer. Verschiebt man den Kreis Dann verlässt mindestens einer der Endpunkte von \(d\) den Kreis. , um sie einzufangen, entwischen Schnipsel an anderer Stelle.
Damit stets alle Schnipsel in den Kreis passen, muss man ihn vergrößern. Wie groß muss der maximal notwendige Durchmesser eines Kreises sein, in dem garantiert alles Konfetti Platz findet? 🤔
Die Antwort lautet: \(1,16 \, d\) reicht in jedem Fall. 😮 Nach dem Satz von Jung kann jede endliche Menge von Punkten in der Ebene – unabhängig von ihrem Verteilungsmuster – in einem Kreis mit dem Durchmesser \(\frac{2}{{3}}\sqrt{3}\,d\approx 1,1547\, d\) eingeschlossen werden. Meist tut's auch ein kleinerer Kreis. Die vollen \(\frac{2}{{3}}\sqrt{3}\,d\) braucht man nur, um die drei Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks Ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge \(d\) hat den Umkreisradius \(\frac{1}{3}\sqrt{3}\,d\). der Seitenlänge \(d\) zu umschließen.
Diesen Satz gibt's auch in 3D: Stell dir die Momentaufnahme einer Schule von Fischen oder einen Vogelschwarm 🐟 vor. Bestimme den Abstand \(d\) der beiden am weitesten voneinander entfernten Fische. Dann passt der ganze Schwarm in eine Kugel mit dem Durchmesser \(\frac{1}{2}\sqrt{6} \,d \approx 1,22 \,d\).
Und würden die Fische in einem \(n\)-dimensionalen Ozean \(\mathbb{R}^n\) schwimmen, fände man auch dort eine
\(n\)‑dimensionale Hyperkugel mit einem Radius
$$r \leq \sqrt{\frac{n}{2(n+1)}} \, d \, ,$$ die alle Fische umfasst – auch wenn wir uns das nicht vorstellen können. 😕
erstellt von C. Wolfseher