🥳 Wirf Konfetti auf den Boden! Den Abstand der beiden am weitesten voneinander entfernten Konfettischnipsel nennen wir \(d\). Bei manchen Würfen liegen alle Schnipsel im Kreis Auf dem Kreis lassen wir auch gelten. mit dem Durchmesser \(d\). Oft gibt es aber Ausreißer. Verschiebt man den Kreis Dann verlässt mindestens einer der Endpunkte von \(d\) den Kreis. , um sie einzufangen, entwischen Schnipsel an anderer Stelle.
Damit stets alle Schnipsel in den Kreis passen, muss man ihn vergrößern. Wie groß muss der maximal notwendige Durchmesser eines Kreises sein, in dem garantiert alles Konfetti Platz findet? 🤔
Die Antwort lautet: \(1,16 \, d\) reicht in jedem Fall. 😮 Nach dem Satz von Jung kann jede endliche Menge von Punkten in der Ebene – unabhängig von ihrem Verteilungsmuster – in einem Kreis mit dem Durchmesser \(\frac{2}{{3}}\sqrt{3}\,d\approx 1,15\, d\) eingeschlossen werden. Oft reicht auch ein kleinerer Kreis. Die vollen \(1,16 \, d\) braucht man nur, um die drei Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks Ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge \(d\) hat den Umkreisradius \(\frac{1}{3}\sqrt{3}\,d\). der Seitenlänge \(d\) zu umschließen.
Diesen mathematischen Satz gibt's auch in 3D: Stell dir die Momentaufnahme eines Vogelschwarms oder einer Schule von Fischen vor. Bestimme den Abstand \(d\) der beiden am weitesten voneinander entfernten Vögel 🕊. Dann passt der ganze Schwarm in eine Kugel mit dem Durchmesser \(\frac{1}{2}\sqrt{6} \,d \approx 1,22 \,d\).
Und auch im \(n\)-dimensionalen Raum \(\mathbb{R}^n\) findet man eine \(n\)-dimensionale Hyperkugel mit Radius $$r \leq \sqrt{\frac{n}{2(n+1)}} \, d \, ,$$ die alle Vögel umfasst. Obwohl wir uns das nicht vorstellen können. 😕
erstellt von C. Wolfseher