Theorie und Praxis | Wahrscheinlichkeit

Die relative Häufigkeit der ⚅ bei sehr vielen Würfen liefert also einen guten Anhaltspunkt für die Wahrscheinlichkeit, sie zu würfeln.

Mit zunehmender Anzahl von Würfen wird deutlich, dass alle Augenzahlen mit annähernd gleicher Häufigkeit auftreten. Na klar. Ohne auch nur einmal zu würfeln, können wir argumentieren: Der (ideale, nicht präparierte) Würfel hat 6 gleiche Seitenflächen. Also ist auch die Chance, dass er auf einer bestimmten davon liegen bleibt Wenn er auf ⚀ liegen bleibt, haben wir ⚅ gewürfelt. 1 : 6.

Angenommen ⚅ tritt mit einer relativen Häufigkeit von \(\frac{k}{n} \approx \frac{1}{6}\) auf, dann sind bei \(n = 5000\) Würfen um die \(k= \frac{1}{6} \cdot 5000 \approx 833\) ⚅-er zu erwarten.

Der theoretische Wert 1/6 deckt sich gut mit dem empirischen der relativen Häufigkeit von etwa 0,17. Wenn das kein Zufall ist! Wir legen uns fest: Die Wahrscheinlichkeit, eine ⚅ zu würfeln und damit auch eine ⚀, ⚁, ⚂, ⚃ und ⚄ , ist 1/6.

Axiome von Kolmogorow

Kaum ausgesprochen, haben wir damit auch auch die Wahrscheinlichkeit fundamentiert, keine ⚅ zu würfeln: 5/6, weil 5 von 6 Flächen keine ⚅ liefern.

Wenn von \(n\) Würfen \(k\) eine ⚅ sind, dann sind \(n-k\) keine ⚅. Damit ist die relative Häufigkeit von "keine ⚅"

$$\frac{n-k}{n}=\frac{n}{n}-\frac{k}{n}=1-\frac{k}{n}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}.$$

Analog ergeben sich weitere Wahrscheinlichkeiten, wie beispielsweise

Was alles passieren kann …

Marquis de Laplace, ein Pionier der Wahrscheinlichkeitsrechnung, resümierte diese Überlegungen schon vor über 200 Jahren in einer Formel:

Für die Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) eines Ereignisses \(A\) gilt: $$P(A)=\frac{\text{Anzahl der für das Ereignis } A \text{ günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}$$

Die Formel gilt allerdings nur unter einer Voraussetzung …

erstellt von C. Wolfseher