Scharlatane gibt es schon genug. Deshalb wollen wir das Risiko 1. Art, Ihnen irrtümlicherweise das Hellseher-Diplom zu verleihen,
klein halten, sagen wir unter einem Niveau von 5 %.
$$\alpha' = P_{\frac{1}{5}}^{10}(Z \in \bar A)\le 5\,\%$$
Wir erreichen dies (bei vorgegebenen Stichprobenumfang \(n\)) durch Anpassung des Ablehnungsbereichs \(\bar A\).
Wie ist \(\bar A\) zu wählen, damit \(\alpha'\) gerade 5 % unterschreitet?
Für \(\bar A=\{5,6,7,8,9,10\}\) ist das Risiko, Ihnen irrtümlicherweise das Hellseher-Diplom zu verleihen,
etwa 0,03279, also weniger als 5 %.
Warum wählt man nicht \(\bar A=\{8,9,10\}\) oder noch kleiner, um \(\alpha'\) zu minimieren?
Je kleiner \(\bar A\), desto unwahrscheinlicher wird es, die Nullhypothese (irrtümlich) abzulehnen. Allerdings vergrößert sich
mit einer Verkleinerung des Ablehnungsbereichs \(\bar A\) der Annahmebereich \( A\) und damit das Risiko 2. Art,
die Nullhypothese irrtümlich anzunehmen.
Nullhypothesen werden so formuliert, dass der Fehler 1. Art schwerwiegender ist als der Fehler 2. Art.
Für das Risiko 1. Art gibt man dann eine Obergrenze, das Signifikanzniveau \(\alpha\), vor:
$$\alpha' = P_{p_{0}}^{n}(Z \in \bar A)\le \alpha$$
Bei vorgegebenem Stichprobenumfang \(n\) wird der Ablehnungsbereichs \(\bar A\) so
angepasst, dass das Risiko 1. Art gerade unter dem Signifikanzniveau liegt.
Kann man die Nullhypothese auf einem bestimmten Signifikanzniveau nicht ablehnen, so bedeutet das keineswegs, dass sie
wahr ist. Es besagt nur, dass das Testergebnis in keinem wesentlichen, also signifikanten Gegensatz zur Hypothese steht.
Die Annahme der Nullhypothese entspricht einem Freispruch mangels Beweisen,
nicht einem Freispruch wegen erwiesener Unschuld.
Bei sehr kleinem Stichprobenumfang kann es sogar vorkommen, dass die Hypothese bei vorgegebenem Signifikanzniveau für kein mögliches Ergebnis
abgelehnt werden kann, also stets angenommen werden müßte.