Binomialverteilung | lokale Näherungsformel
Statt die Histogramme durch eine Standardisierung auf die Glockenkurve zu übertragen, kann man auch den umgekehrten Weg gehen:
Wir passen die standardisierte Dichtefunktion \(\varphi\)
den nicht-standardisierten Binomialverteilungen an. Dazu kehren wir die drei Standardisierungs-Schritte um:
- Verschiebung der standardisierten Dichtekurve \(\varphi\) nach rechts um \(\mu\)
- Dehnung der Breite mit dem Faktor \(\sigma\)
- Stauchung der Höhe mit dem Faktor \(\frac{1}{\sigma}\)
Wir erhalten so aus der standardisierten Dichtefunktion \(\varphi\) die Funktion
$$\varphi_{\mu\sigma}(x)=\frac{1}{\sigma}\cdot \varphi \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right).$$
Probiere selbst!
Der Funktionswert \(\varphi_{\mu\sigma}(k)\)
ist (für große \(n\)) eine gute Näherung für die Höhe des Rechtecks an der
Stelle \(k\) und damit für die Wahrscheinlichkeit \(P(X=k)\), genau \(k\) Treffer zu erzielen. Für große \(n\) gilt also die
lokale Näherungsformel
$$B(n;p;k)\approx \varphi_{\mu\sigma}(k)=\frac{1}{\sigma}\cdot \varphi \left(\frac{k-\mu}{\sigma}\right)$$
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erstellt von C. Wolfseher
mit GeoGebra