Normalverteilung

Setzen wir in der integralen Näherungsformel für $k_1=0$ und $k_2=k$, erhalten wir $$P(X \le k)\approx \Phi \left(\frac{k+0,5-\mu}{\sigma}\right)-\Phi \left(\frac{0-0,5-\mu}{\sigma}\right)$$ und da $\Phi \left(\frac{0-0,5-\mu}{\sigma}\right)\approx 0$ für große $n$: $$P(X \le k)\approx \Phi \left(\frac{k+0,5-\mu}{\sigma}\right)$$

Streichen wir nun noch (ohne großen Genauigkeitsverlust) die "Stetigkeitskorrektur" $0,5$ und setzen für $k$ ein beliebiges reelles $x$, so ergibt sich $$P(X \le x)\approx \Phi \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right),$$ eine (für große $n$) gute Näherung der Verteilungsfunktion einer binomialverteilten Zufallsgröße $X$. Man nennt sie Normalverteilung $N$ weil sich die meisten Verteilungen nach N ausrichten .

Definition:

Hat eine Zufallsgröße $X$ mit Erwartungswert $\mu$ und Varianz $\sigma^2$ die Verteilungsfunktion $$\Phi_{\mu\sigma}:\, x \mapsto \Phi \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$$ so heißt sie normalverteilt nach $N(\mu;\,\sigma)$.

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erstellt von C. Wolfseher