Bifurkationsdiagramm | logistische Gleichung

Der Orbit der logistischen Gleichung x_n+1 = r·(1−x_n)·x_n liefert bei steigender Periode keine sehr übersichtlichen Ergebnisse. Man kann nicht sicher einen 16er-Zyklus von einem sich einpendelnden 8er-Zyklus unterscheiden. Der Physiker Mitchell Feigenbaum hatte an dieser Stelle die Idee für eine weitere Darstellung des Iterations-Szenarios:

Wir iterieren irgendein x₀ für festes r, sagen wir 9000-mal. x₉₀₀₀ dürfte dann schon am Attraktor kleben. Dann tragen wir die folgenden, sagen wir 1000, Iterationsergebnisse x_{9000 bis 10000} als Ordinatenwert über der Abszisse r in ein Diagramm ein. Dies wiederholen wir für alle 0 ≤ r ≤ 4. Vor unseren Augen entsteht ein Bifurkationsdiagramm:

Klicke auf ein Vergrößerungszentrum (zur Beibehaltung des Seitenverhältnisses) oder ziehe ein Auswahlrechteck (von links oben nach rechts unten) auf!

Wir erkennen die bereits festgestellten Phänomene wieder:

• 0 ≤ r ≤ 1: Die Population stirbt aus.
• 1 < r ≤ 3: Die Populationsgröße nimmt (praktisch) den Attraktorwert p_r = 1 − 1/r an.
• 3 < r ≤ 4: Die Populationsgröße schwankt in einem 2er-, 4er-, 8er-, usw. Zyklus bis zu einem gewissen Punkt auf der r-Achse. Was ist jetzt los? Die Ordinatenwerte x_n hüpfen ziellos auf und ab, d.h. die Populationsgröße variiert von Jahr zu Jahr völlig unregelmäßig, bis schließlich bei r = 4 alle möglichen Populationszahlen von 0 bis 1 auftreten. Das Chaos ist ausgebrochen!

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