bedingte Wahrscheinlichkeit | diagnostische Verfahren
In der Medizin werden diagnostische Verfahren — kurz: Tests — angewendet, um Krankheiten
festzustellen.
Das Testergebnis wird als positiv bezeichnet, wenn es die Krankheit anzeigt, andernfalls als
negativ. Dabei können aber folgende Fehler auftreten:
- Der Test ist positiv, obwohl die Testperson gar nicht krank ist.
- Der Test ist negativ, obwohl die Testperson in Wirklichkeit krank ist.
Die
Wahrscheinlichkeiten des Auftretens dieser Fehler
Risiko 1. und 2. Art
sollten möglichst klein sein.
Für die
Zuverlässigkeit
Funktionalität
eines diagnostischen Tests gibt es zwei Maße:
- Die
Sensitivität
auch Richtig-positiv-Rate, Empfindlichkeit oder Trefferquote
gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass der Test positiv ist,
wenn
unter der Bedingung, dass ...
die Testperson die Krankheit hat.
- Die
Spezifität
auch Richtig-negativ-Rate oder kennzeichnende Eigenschaft
gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass der Test negativ ist, wenn die Testperson
die Krankheit nicht hat.
Sensitivität
Anteil der tatsächlich Kranken, die korrekt als solche erkannt werden.
und
Spezifität
Anteil der tatsächlich Gesunden, die korrekt als solche erkannt werden.
eines Test sollten möglichst groß sein.
Man kann ein diagnostisches Verfahren als zweistufiges
Zufallsexperiment
Irgendeine Person wird auf die Krankheit getestet.
mit folgenden Ereignissen betrachten:
- \(K\):
Person hat die Krankheit.
- \(\overline{K}\):
Person hat die Krankheit nicht.
- \(D\):
Diagnosetest ist positiv.
- \(\overline{D}\):
Diagnosetest ist negativ.
Ein passendes Baumdiagramm sieht dann so aus:
Welche der Wahrscheinlichkeiten steht für
- die Sensitivität?
Die
bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_K(D)\)
Wahrscheinlichkeit von D, wenn K eingetreten
ist.
ist die Sensitivität.
- die Spezifität?
Die bedingte Wahrscheinlichkeit
\(P_{\overline{K}}(\overline{D})\) ist die Spezifität.
- die Infektionsrate?
Die Wahrscheinlichkeit \(P(K)\) steht für die
Infektionsrate.
- den Anteil aller Testpersonen, die gesund sind und ein positives Testergebnis haben?
\(P(\overline{K}\cap D)\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass
eine zufällig ausgewählte Person gesund und der Test positiv ist.
Die
bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_D(K)\)
Wahrscheinlichkeit von K, wenn D eingetreten ist.
taucht in unserem Baum nicht auf.
- Erläutere \(P_D(K)\)!
\(P_D(K)\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine positiv
getestete Person tatsächlich die Krankheit hat.
- Warum sollte \(P_D(K)\) möglichst groß sein?
Ist \(P_D(K)\) klein, kann es leicht passieren, dass eine
positiv gestestet Person in Wirklichkeit die Krankheit gar nicht hat.
Betrachten wir als konkretes Beispiel einen HIV-Test ...
erstellt von C. Wolfseher