schiefer elastischer Stoß | Impuls

Billardkugeln

Der gerade zentrale Stoß ist ein idealisierter Sonderfall. In der Praxis (beispiels­weise beim Billard) bewegen sich die Schwer­punkte der wechsel­wirkenden Körper gemeinhin nicht auf einer gemeinsamen Geraden. Solche zwei- oder drei­dimensionalen Stöße sind ohne weitere Rand­bedingungen nicht allgemein berechenbar mehr Unbekannte als Gleichungen .

Wir betrachten hier den Spezial­fall eines nicht zentralen, elastischen Stoßes zweier gleicher insbesondere gleicher Masse \(m\) Kugeln, wobei eine Kugel vor dem Stoß ruht \(v_2=0\) . Die Rotation der Kugeln (beispielsweise der Effet beim Billard) wird hier nicht berücksichtigt.

nicht zentraler, elastischer Stoß einer Kugel auf eine ruhende, identische Kugel

vor der Wechselwirkung nach der Wechselwirkung
Körper 1 Körper 2 Körper 1 Körper 2
Masse \(m\) \(m\) \(m\) \(m\)
Geschwindigkeit \(\vec{v_1}\) \(\vec{0}\) \({\vec{v_1}}'\) \({\vec{v_2}}'\)
Impuls \(\vec{p_1} = m \cdot \vec{v_1}\) \(\vec{0}\) \({\vec{p_1}}' = m \cdot {\vec{v_1}}'\) \({\vec{p_2}}' = m \cdot {\vec{v_2}}'\)
Energie \(\frac{1}{2}m\cdot {v_1}^2\) \(0\) \(\frac{1}{2}m\cdot {{v_1}'}^2\) \(\frac{1}{2}m\cdot {{v_2}'}^2\)

Die Energieerhaltung liefert in diesem Fall die Gleichung $$\frac{1}{2}m\cdot {v_1}^2=\frac{1}{2}m\cdot {{v_1}'}^2 + \frac{1}{2}m\cdot {{v_2}'}^2$$ wobei \(v_1=\left|\vec{v_1}\right|,{v_1}'=\left|\vec{v_1}'\right|\) und \({v_2}'=\left|\vec{v_2}'\right|\).

Division der Gleichung durch \(\frac{1}{2}m\) ergibt $${v_1}^2={{v_1}'}^2+{{v_2}'}^2 \quad(1)$$

Die Impulserhaltung liefert die Vektorgleichung $$\vec{p_1}=\vec{p_1}'+\vec{p_2}'$$ und mit \(\vec{p}=m \cdot \vec{v}\) bei gleichen Massen der Kugeln $$\vec{v_1}=\vec{v_1}'+\vec{v_2}' \quad(2)$$ Aus Gleichung (1) und (2) folgt zusammen mit dem Kehrsatz des Pythagoras, dass die Geschwindigkeitsvektoren \(\vec{v_1}\), \(\vec{v_1}'\) und \(\vec{v_2}'\) ein rechtwinkliges Dreieck mit \(\vec{v_1}\) als Hypotenuse bilden. Die Bewegungsrichtungen der beiden Kugeln nach dem Stoß verlaufen also stets senkrecht zueinander.

«       »

erstellt von C. Wolfseher mit GeoGebra