Bilden sich nach dem Aufprall die Verformungen wieder zurück, spricht man von einem elastischen Stoß. Die Körper bewegen sich nach der Wechselwirkung getrennt weiter, wie Wagen beim Autoskooter oder Billardkugeln.
Da insgesamt keine Verformungsarbeit verrichtet wird, ist die kinetische Energie in der Summe vor und nach dem Stoß gleich groß.
| vor der Wechselwirkung | nach der Wechselwirkung | |||
| Körper 1 | Körper 2 | Körper 1 | Körper 2 | |
| Masse | \(m_1\) | \(m_2\) | \(m_1\) | \(m_2\) |
| Geschwindigkeit | \(v_1\) | \(v_2\) | \({v_1}'\) | \({v_2}'\) |
| Impuls | \(p_1 = m_1 \cdot v_1\) | \(p_2 = m_2 \cdot v_2\) | \({p_1}' = m_1 \cdot {v_1}'\) | \({p_2}' = m_2 \cdot {v_2}'\) |
| Energie | \(\frac{1}{2}m_1\cdot {v_1}^2\) | \(\frac{1}{2}m_2\cdot {v_2}^2\) | \(\frac{1}{2} {m_1} \cdot {{v_1}'}^2\) | \(\frac{1}{2} {m_2} \cdot {{v_2}'}^2\) |
Energieerhaltung $$\frac{1}{2} {m_1} \cdot {v_1}^2 + \frac{1}{2} {m_2} \cdot {v_2}^2 = \frac{1}{2} {m_1} \cdot {{v_1}^\prime}^2 + \frac{1}{2} {m_2} \cdot {{v_2}^\prime}^2\quad(1)$$ und Impulserhaltung $${m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {v_2} = {m_1} \cdot {v_1}^\prime + {m_2} \cdot {v_2}^\prime\quad(2)$$ liefern zwei Gleichungen, aus denen sich zwei Unbekannte berechnen lassen, beispielsweise die
Aus \((1)\) folgt durch Kürzen mit \(\frac{1}{2}\), Umsortieren und Anwendung einer binomischen Formel
\[{{m_1} \cdot \left( {{v_1}^2 - {{v_1}^\prime}^2} \right) = {m_2} \cdot \left( {{{v_2}^\prime}^2 - {v_2}^2} \right) \Leftrightarrow {m_1} \cdot \left( {{v_1} - {{v_1}^\prime}} \right) \cdot \left( {{v_1} + {{v_1}^\prime}} \right) = {m_2} \cdot \left( {{{v_2}^\prime} - {v_2}} \right) \cdot \left( {{{v_2}^\prime} + {v_2}} \right)\quad(3)}\]
Aus \((2)\) folgt durch Umsortieren und Ausklammern
\[{m_1} \cdot \left( {{v_1} - {{v_1}^\prime}} \right) = {m_2} \cdot \left( {{v_2}^\prime - {v_2}} \right)\quad(4)\]
Dividiert man nun Gleichung \((3)\) durch Gleichung \((4)\), so folgt
\[{v_1} + {{v_1}^\prime} = {v_2}^\prime + {v_2} \Leftrightarrow {v_1} - {v_2} = {v_2}^\prime - {{v_1}^\prime}\quad(5)\]
Hinweis: Gleichung \((5)\) besagt, dass die Beträge der Relativgeschwindigkeiten der beiden Körper vor und nach dem Stoß gleich sind.
Auflösen von Gleichung \((5)\) nach \({v_2}^\prime\) ergibt
\[{v_2}^\prime = {v_1} + {{v_1}^\prime} - {v_2}\quad(6)\]
Setzt man \((6)\) in Gleichung \((4)\) ein, so erhält man
\[\begin{eqnarray}{m_1} \cdot \left( {{v_1} - {{v_1}^\prime}} \right) &=& {m_2} \cdot \left( {\left( {{v_1} + {{v_1}^\prime} - {v_2}} \right) - {v_2}} \right)\\ \Leftrightarrow {m_1} \cdot \left( {{v_1} - {{v_1}^\prime}} \right) &=& {m_2} \cdot \left( {{v_1} + {{v_1}^\prime} - {v_2} - {v_2}} \right)\\ \Leftrightarrow {m_1} \cdot {v_1} - {m_1} \cdot {{v_1}^\prime} &=& {m_2} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot {{v_1}^\prime} - 2{m_2} \cdot {v_2}\\ \Leftrightarrow {{v_1}^\prime} \cdot \left( {{m_1} + {m_2}} \right) &=& {m_1} \cdot {v_1} - {m_2} \cdot {v_1} + 2{m_2} \cdot {v_2}\\ \Leftrightarrow {v_1}^\prime &=& \frac{{{m_1} \cdot {v_1} + {m_2} \cdot \left( {2{v_2} - {v_1}} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}}\end{eqnarray}\]
Auflösen von Gleichung \((6)\) nach \({v_1}^\prime\) ergibt
\[{v_1}^\prime = {v_2} + {v_2}^\prime - {v_1}\quad(7)\]
Setzt man \((7)\) in Gleichung \((4)\) ein, so erhält man
\[\begin{eqnarray}{m_1} \cdot \left( {{v_1} - \left( {{v_2} + {v_2}^\prime - {v_1}} \right)} \right) &=& {m_2} \cdot \left( {{v_2}^\prime - {v_2}} \right)\\ \Leftrightarrow {m_1} \cdot \left( {{v_1} - {v_2} - {v_2}^\prime+ {v_1}} \right) &=& {m_2} \cdot \left( {{v_2}^\prime- {v_2}} \right)\\ \Leftrightarrow 2 \cdot {m_1} \cdot {v_1} - {m_1} \cdot {v_2} - {m_1} \cdot {v_2}^\prime &=& {m_2} \cdot {v_2}^\prime - {m_2} \cdot {v_2}\\ \Leftrightarrow 2 \cdot {m_1} \cdot {v_1} - {m_1} \cdot {v_2} + {m_2} \cdot {v_2} &=& {m_1} \cdot {v_2}^\prime + {m_2} \cdot {v_2}^\prime\\ \Leftrightarrow {m_2} \cdot {v_2} + {m_1} \cdot \left( {2 \cdot {v_1} - {v_2}} \right) &=& {v_2}^\prime \cdot \left( {{m_1} + {m_2}} \right)\\ \Leftrightarrow {v_2}^\prime&=& \frac{{{m_2} \cdot {v_2} + {m_1} \cdot \left( {2{v_1} - {v_2}} \right)}}{{{m_1} + {m_2}}}\end{eqnarray}\]