Integralfunktion | Anwendung des HDI

Mithilfe des HDI $$I'_a(x)=\left(\int\limits_a^x{f(t)dt}\right)'=f(x)$$ kann man nun ein Integral \(\int\limits_a^b{f(x)dx}=I_a(b)\) komfortabel (ohne Ober- und Untersumme) berechnen:

Sei \(F\) irgendeine Stammfunktion von \(f\), dann gilt $$I_a(x)=F(x)+C$$ Die Konstante \(C\) berechnet man so: $$I_a(a)=0=F(a)+C \Rightarrow C=-F(a)$$ Oben eingesetzt ergibt $$I_a(x)=F(x)-F(a)$$ Insbesondere gilt dann: $$I_a(b)=\int\limits_a^b{f(x)dx}=F(b)-F(a)$$

Statt \(F(b)-F(a)\) schreibt man auch \(\left[F(x)\right]_a^b\), also \(\int\limits_a^b{f(x)dx}=\left[F(x)\right]_a^b\).

• Berechne \(\int\limits_1^2{(3x^2+2x)dx}\) ! $$\int\limits_1^2{(3x^2+2x)dx}=\left[x^3+x^2\right]_1^2=(2^3+2^2)-(1^3+1^2)=10;$$
• Berechne \(\int\limits_1^2{\dfrac1x dx}\) ! $$\int\limits_1^2{\dfrac1x dx}=\left[\ln|x|\right]_1^2=\ln 2-\ln 1=\ln 2\approx 0,69;$$
• Berechne den Inhalt der roten Fläche!

  

  $$\int\limits_0^\pi{(\sin x) dx}=\left[-\cos x\right]_0^\pi=-\cos \pi-(-\cos 0)=-(-1)-(-1)=2;$$
• Die Geschwindigkeit eines frei fallenden Körpers beträgt \(t\) Sekunden nach dem Loslassen \(9,81 \cdot t\) Meter pro Sekunde. Wie tief fällt der Körper in 3 Sekunden? $$s(3)=\int\limits_0^3{v(t) dt}=\int\limits_0^3{(9,81 \cdot t) dt}= \left[9,81\cdot0,5t^2\right]_0^3=9,81\cdot0,5(3^2-0^2)= 44,145;$$ Er fällt etwa 44 m tief.

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erstellt von C. Wolfseher