Der HDI besagt: $$I'_a(x)=\left(\int\limits_a^x{f(t)dt}\right)'=f(x)$$
Beweis:
Nach der Definition der Ableitung gilt:
$$I'_a(x)=\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{I_a(x+h)-I_a(x)}{h}}$$
Dabei entspricht \(I_a(x+h)-I_a(x)\) dem
Inhalt der rot markierten Fläche
in nebenstehender Figur.
$$I_a(x+h)-I_a(x)=\int\limits_{x}^{x+h}{f(t)dt}$$
Die stetige Integrandenfunktion \(f\) hat im Intervall \([x;x+h]\) einen kleinsten Funktionswert \(m\) und einen größten Funktionswert \(M\).
Für die Rechtecksflächen \(m\cdot h\) und \(M\cdot h\) gilt:
$$m\cdot h\le I_a(x+h)-I_a(x)\le M\cdot h$$
Division durch \(h\) ergibt:
$$m\le \frac{I_a(x+h)-I_a(x)}{h} \le M$$
Für \(h \rightarrow 0\) streben sowohl \(m\) als auch \(M\) gegen \(f(x)\). Also strebt auch der zwischen \(m\) und \(M\)
eingeklemmte Differenzenquotient \(\frac{I_a(x+h)-I_a(x)}{h}\) für \(h \rightarrow 0\) gegen \(f(x)\).
