Höhensatz | © C. Wolfseher

4 Höhensatz

Die Sparren eines Dachs sollen einen 90°-Winkel bilden. Wo muss der Stützpfosten für den First platziert werden, wenn er genau 3 m hoch sein soll? 1,5 m vom linken und 6 m vom rechten Dachrand entfrernt (oder umgekehrt).

Zwischen der Hypotenusenhöhe und den Hypotenusenabschnitten eines rechtwinkligen Dreiecks besteht ein eindeutiger Zusammenhang. Man kann ihn mit unseren bereits bekannten Sätzen herleiten:

h_c² = b²− q² Pythagoras für ΔADC
b² = c · q = (q + p)·q Kathetensatz für ΔABC

Einsetzen von II. in I. ergibt: h_c² = (q + p)·q − q² = q² + p·q − q² = p·q , also h_c² = p · q.

Auch diese Formel lässt sich durch Flächeninhalte am rechtwinkligen Dreieck veranschaulichen:

Notiere:

Für jedes rechtwinklige Dreieck gilt der Höhensatz:

Das Quadrat über der Höhe ist flächengleich zum Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten.

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