Geburtstagsparadoxon | C. Wolfseher

So ein Zufall! Susi und Peter aus der 10a haben am gleichen Tag Geburtstag. Und in der 10c Flo und Leo.

Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit, in einer Gruppe von mehreren Personen zu finden, die Geburtstag haben, kontraintuitiv hoch. Schon bei 23 Personen liegt sie über 50 %.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

$E$: „In einer Gruppe von $n$ Personen haben mindestens zwei am selben Tag Geburtstag.“

Wir betrachten zunächst das Gegenereignis

$\overline{E}$: „In einer Gruppe von $n$ Personen haben alle an unterschiedlichen Tagen Geburtstag.“

mit der Wahrscheinlichkeit

$$P(\overline{E})=\frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \cdot \, \cdots \, \cdot \frac{365-(n-1)}{365}$$ kompakter notiert: $$P(\overline{E}) = \prod_{k=0}^{n-1} \frac{365 - k}{365} = \prod_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{k}{365}\right)$$ Mit $P(E)=1-P(\overline{E})$ erhalten wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit: $$P(E) = 1- \prod_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{k}{365}\right)$$

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx inhaltlich sinnvoll: Sei $2 \le n \le 365$. Nach dem Schubfachprinzip ist für alle $n \gt 365$ die Wahrscheinlichkeit $P(E)$ gleich 1, es gibt also mit Sicherheit bei Berücksichtigung des 29. Feb. erst ab $n \gt 366$ zwei Personen mit gleichem Geburtstag. Beachte xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

In folgender kannst du beliebig viele Gruppen mit jeweils 23 Personen testen und relative Häufigkeiten H_rel beobachten:

Die Sim zeigt auch die relative Häufigkeit des Ereignisses, dass eine Person an einem bestimmten Tag, beispielsweise dem Geburtstag der Person A, Geburtstag hat. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx