Geburtstagsparadoxon | C. Wolfseher

So ein Zufall! Susi und Peter aus der 10a haben am gleichen Tag Geburtstag. Und in der 10c Flo und Leo.

Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit, in einer Gruppe von mehreren Personen zu finden, die Geburtstag haben, kontraintuitiv hoch. Schon bei 23 Personen liegt sie über 50 %.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

$E$: „In einer Gruppe von $n$ Personen haben mindestens zwei am selben Tag Geburtstag.“

Wir betrachten zunächst das Gegenereignis

$\overline{E}$: „In einer Gruppe von $n$ Personen haben alle an unterschiedlichen Tagen Geburtstag.“

mit der Wahrscheinlichkeit

$$P(\overline{E})=\frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \cdot \, \cdots \, \cdot \frac{365-(n-1)}{365}$$ $$P(\overline{E}) = \prod_{k=0}^{n-1} \frac{365 - k}{365} = \prod_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{k}{365}\right)$$ Mit $P(E)=1-P(\overline{E})$ erhalten wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$$P(E) = 1- \prod_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{k}{365}\right)$$

Darin sei $2 \le n \le 365$. Nach dem Schubfachprinzip gibt es für alle $n \gt 365$ mit Sicherheit bei Berücksichtigung des 29. Feb. erst ab $n \gt 366$ zwei Personen mit gleichem Geburtstag, $P(E)$ ist also 1. Schon ab $n=57$ ist $P(E)\gt 99 \%$.

In folgender kannst du beliebig viele Gruppen mit jeweils 23 Personen testen und relative Häufigkeiten H_rel beobachten:

Die Sim zeigt auch die relative Häufigkeit des Ereignisses, dass aus der Gruppe zusammen mit Person A aus der Gruppe – also an einem bestimmten Tag – Geburtstag hat. Die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt bei einer Gruppenstärke von 23 nur knapp 6 %.

Für jeden der 22 Partner von A beträgt die Wahrscheinlichkeit nicht am Geburtstag von A Geburtstag zu haben $\frac{364}{365}$. Somit gilt:

$P$(„Keiner der 22 Partner teilt den Geburtstag mit A.“) $=\left(\frac{364}{365}\right)^{22}$
$P$(„Mindestens einer der 22 Partner teilt den Geburtstag mit A.“) $=1-\left(\frac{364}{365}\right)^{22}\approx 5,86\%$

Dass aus der Gruppe gemeinsam feiern, ist ein echter Glücksfall. Kommt nur in einer von etwa 130 Gruppen (mit 23 Personen) vor. Versuche in obiger Sim so viele Gruppen zu testen, bis es passiert.

Die Poisson-Approximation liefert für das Ereignis

$E$: „In einer Gruppe von $n$ Personen haben mindestens drei am selben Tag Geburtstag.“

für $n=23$ näherungsweise die Wahrscheinlichkeit:

$$P(E)=1-e^{-\binom{23}{3}\cdot\frac{1}{365^2}}\approx 0,0132$$

exakt kombinatorisch:

$$P(E)=1 - \frac{23!}{365^{23}} \sum_{k=0}^{11} \frac{\binom{365}{23-k} \binom{23-k}{k}}{2^k} \approx 0,0127$$

$P(E)\gt 50\%$ gilt erst ab $n=88$ Personen Gruppenstärke. Wenn $n=365\cdot 2+1=731$, ist die Wahrscheinlichkeit laut Schubfachprinzip exakt 100 % (da jeder Tag doppelt belegt sein könnte und die 731. Person ein Triplett erzwingt).