In unserem Beispiel ist die Integralfunktion eine Stammfunktion der Integrandenfunktion: $$I'_a(x)=\left(\int\limits_a^x{f(t)dt}\right)'=f(x)$$
Gilt das auch für andere Integrandenfunktionen \(f(t)\)? Teste selbst!
Tatsächlich gilt der
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (kurz HDI)
Die Funktion \(f: t \mapsto f(t)\) sei im Intervall \([a;b]\) definiert. Dann ist die Integralfunktion $$I_a: x \mapsto I_a(x) = \int\limits_a^x{f(t)dt}$$ eine Stammfunktion von \(f\). $$I'_a(x)=f(x) \qquad \forall \, x \in [a;b]$$Die Integration ist also die Umkehrung der Differentiation. Man kann den HDI relativ schnell beweisen ...
erstellt von C. Wolfseher