Die Oszillatorgleichung und die Projektion der Kreisbewegung führten uns zum gleichen Ergebnis: Die Zeit-Ort-Funktion der harmonischen Schwingung mit Amplitude \(A\), Schwingungsdauer \(T\) und Startphase \(\varphi_0\) ist eine Sinusfunktion $$y(t)= A \cdot \sin \left( \omega \cdot t+\varphi_0 \right) \text{ mit } \omega = \frac{2\pi}{T}=2\pi f$$
Die Ableitungen nach der Zeit \(\dot y(t)\) und \(\ddot y(t)\) liefern die Zeit-Geschwindigkeit-Funktion \(v(t)\) und Zeit-Beschleunigung-Funktion \(a(t)\):
$$v(t)= \underbrace{A \cdot \omega}_{v_{max}} \cdot \cos \left( \omega \cdot t+\varphi_0 \right)$$ $$a(t)= -\underbrace{A \cdot \omega^2}_{a_{max}} \cdot \sin \left( \omega \cdot t+\varphi_0 \right)$$
Die Projektion des Geschwindigkeitsvektors \(\vec{v}\) mit \(|\vec{v}|=\omega \cdot r\) und des Vektors der Zentripetalbeschleunigung \(\vec{a}\) mit \(|\vec{a}|=\omega^2 \cdot r\) einer Kreisbewegung mit Bahnradius \(r=A\) und Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) zeigt die Graphen der Bewegungsfunktionen:
Es sind phasenverschobene Sinuskurven mit den Amplituden \(y_{max}=A\), \(v_{max}=A \cdot \omega\) und \(a_{max}=A \cdot \omega^2\).
erstellt von C. Wolfseher