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Die Energie einer Schwingung wandelt periodisch ihre Form. Beispielsweise wechselt sie bei unserem Federpendel stetig zwischen kinetischer Energie \(E_{kin}=\frac{1}{2}m\cdot v^2\) und potentieller Energie \(E_{pot}=\frac{1}{2}D\cdot y^2\).
Die potentielle Energie \(E_{pot}\) des Federschwerependels ist die Summe aus Spannenergie \(E_{sp}\) der Feder und Höhenenergie \(E_{h}\) des Pendelkörpers: $$E_{pot}=E_{sp}+E_{h}$$
Das Nullniveau der potentiellen Energie ist frei wählbar. Wir setzen \(E_{pot}\) am besten dort 0, wo die Geschwindigkeit \(v\) und damit \(E_{kin}\) während der Schwingung maximal ist: bei \(y=0\). Gleichung x zeigt, dass wir hierzu die Dehnung der Feder relativ zur Ruhelage festlegen, also \(\frac{1}{2}D\cdot {s_0}^2=0\) setzen. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Du kannst schon mit Integralen umgehen? Dann ist \(E_{pot}\) schnell hergeleitet:
Mit \(\Delta E_{pot}=-W\) "−", weil man gegen die Rückstellkraft arbeiten muss, um \(E_{pot}\) zu erhöhen. und dem Integral über die Rückstellkraft \(F_R\) für die Arbeit \(W\) erhalten wir $$E_{pot}(y)=-\int\limits_0^y{F_R(s) \, ds}$$ wobei wie schon gezeigt \(F_R(s)=-D\cdot s\) und somit $$E_{pot}(y)=-\int\limits_0^y{(-D\cdot s) \, ds}=D\cdot\int\limits_0^y{ s \, ds}=D\cdot\left[\frac{1}{2}s^2\right]_0^y=\frac{1}{2}D(y^2-0^2)=\frac{1}{2}D\cdot y^2$$
In jeder Schwingungsphase beträgt die Gesamtenergie
\begin{align} E &= E_{kin}+E_{pot}\\[4px] \, &= \cssId{Step0}{\tfrac{1}{2}m\cdot {\color{darkgreen}{v(t)}^2}+\tfrac{1}{2}D\cdot {\color{darkred}{y(t)}^2}}\\[4px] \, &= \cssId{Step1}{\tfrac{1}{2}m \cdot {\color{darkgreen} {\left[A\cdot\omega\cdot\cos \left( \omega \cdot t+\varphi_0 \right)\right]}^2} + \tfrac{1}{2}D \cdot {\color{darkred} {\left[A\cdot\sin \left( \omega \cdot t+\varphi_0 \right)\right]}^2}}\\[4px] \, &= \cssId{Step2}{\tfrac{1}{2}m \cdot {\color{darkgreen} A^2\cdot\omega^2 \cdot{\left[\cos \left( \omega \cdot t+\varphi_0 \right)\right]}^2} + \tfrac{1}{2}D \cdot {\color{darkred} A^2 \cdot{\left[\sin \left( \omega \cdot t+\varphi_0 \right)\right]}^2}}\\[4px] \, &= \cssId{Step3}{{\color{purple}\tfrac{1}{2}D \cdot A^2} \cdot{\left[\cos \left( \omega \cdot t+\varphi_0 \right)\right]}^2 + {\color{purple}\tfrac{1}{2}D \cdot A^2} \cdot{\left[\sin \left( \omega \cdot t+\varphi_0 \right)\right]}^2}\\[4px] \, &= \cssId{Step4}{{\color{purple}\tfrac{1}{2}D \cdot A^2} \underbrace{\left[{\left[\cos \left( \omega \cdot t+\varphi_0 \right)\right]}^2 + {\left[\sin \left( \omega \cdot t+\varphi_0 \right)\right]}^2 \right]}_{\text{= 1}}}\\ \, &= \cssId{Step5}{\tfrac{1}{2}D \cdot A^2}\\ \end{align}
Gesamtenergie der Schwingung $$E=\frac{1}{2}D \cdot A^2 = \frac{1}{2} m \cdot \omega^2 \cdot A^2$$
\(E\) ist proportional zum Quadrat der Amplitude \(A\). Und obwohl \(E_{kin}\) und \(E_{pot}\) fortwährend konkurrieren, bleibt ihre Summe \(E\) immer gleich unabhängig von der Zeit \(t\) : Energieerhaltung!
erstellt von C. Wolfseher