Zerfallsgesetz | Standardabweichung

Wir können die Umwandlung eines instabilen Atomkerns als Bernoulli-Experiment betrachten:

Treffer: Kern bleibt bis zum Zeitpunkt $t$ unverändert.
Niete: Kern zerfällt bis zum Zeitpunkt $t$.

Die Trefferwahrscheinlichkeit haben wir schon hergeleitet: $P(t)=e^{-\lambda\cdot t}$

Ausgehend von $N_0$ Kernen zum Zeitpunkt $t=0$, ist die Anzahl $N(t)$ der zum Zeitpunkt $t$ noch nicht zerfallenen Kerne die Anzahl der Treffer der Bernoulli-Kette mit Länge $N_0$ und Trefferwahrscheinlichkeit $P(t)=e^{-\lambda\cdot t}$. Vorausgesetzt, jeder Kern zerfällt unabhänging von den anderen.

$N(t)$ ist eine nach $B(n=N_0;\,p=e^{-\lambda\cdot t})$ binomialverteilte Zufallsgröße.

Sie hat den Erwartungswert von der Zeit $t$ abhängigen

$E[N(t)]=n\cdot p=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}$.

Wir erwarten also zum Zeitpunkt $t$ im Mittel bei häufiger Wiederholung des Zufallsexperiments

$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}$

unzerfallene Kerne. Das ist das Zerfallsgesetz! 😀

🙄 Na toll. Das Zerfallsgesetz ist also nur eine statistische Abschätzung? Ja. Aber wegen der immens hohen Anzahl $N$ von Kernen eine außerordentlich gute. Werfen wir einen Blick auf die Standardabweichung $\sigma$ der binomialverteilten Zufallsgröße $N(t)$:

$$\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}\cdot (1-e^{-\lambda\cdot t})}$$

$N(t)$ streut also stochastisch um den Erwartungswert:

$$N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}\pm\sqrt{N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}\cdot (1-e^{-\lambda\cdot t})}$$

Die $\sigma$-Umgebung relativ zum Startwert $N_0$ ist folglich:

$$\frac{N(t)}{N_0}=e^{-\lambda\cdot t}\pm\frac{\sqrt{e^{-\lambda\cdot t}-e^{-2\lambda\cdot t}}}{\sqrt{N_0}}$$

Die grüne Banane zeigt die 1$\sigma$-Umgebung in der $N(t)$ (bei großen $N_0$) mit rund 68 % Wahrscheinlichkeit liegt (dunkler schattiert) und die 2$\sigma$-Umgebung in der $N(t)$ (bei großen $N_0$) mit rund 95 % Wahrscheinlichkeit liegt :

Je größer $N_0$, desto kleiner die relative Abweichung $N_0$ steht im Nenner. vom Erwartungswert. Es gilt das Gesetz der großen Zahlen. Und die sind beim radioaktiven Zerfall wirklich groß. Wir würfeln hier nicht mit 24 oder 1000 Würfeln. 1 g Uran‑238 enthält 2,5 · 10²¹ Atome. So viele wie die Sahara Sandkörner. 😮

Aber wie bestimmt man $\lambda$? 😕

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erstellt von C. Wolfseher