Ein Ansatz, der uns ganz ohne Würfel zum Zerfallsgesetz führt, lautet: Je mehr Würfel — äh Atome, desto mehr Zerfälle. Oder etwas präziser: Die Änderungsrate \(-N'(t)\) ist positiv, da \(N'(t)\) wegen der Abnahme von \(N(t)\) negativ ist ist proportional zur Anzahl der unzerfallenen Kerne \(N(t)\):
$$-N'=\lambda\cdot N$$Darin ist \(\lambda\) eine Proportionalitätskonstante materialabhängige . Eine Lösung Wir suchen eine Funktion \(N(t)\), die (bis auf eine Konstante) mit ihrer Ableitung übereinstimmt. dieser Differentialgleichung ist das Zerfallsgesetz \(N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}\).
$$-N'(t)=-N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}\cdot (-\lambda)=\lambda\cdot N(t)$$
\(-N'(t)\) nennt man Aktivität \(A\) einer bestimmten Menge einer radioaktiven Substanz mit der Einheit Ein Becquerel entspricht einem radioaktiven Zerfall pro Sekunde. \([A]=1 \frac{1}{\text{ s}}=1\text{ Bq}\).
Nach der Nuklearkatastrophe von Fukushima im März 2011 lagerte sich radioaktiver Fallout auf der Erdoberfläche ab. In den darauffolgenden Tagen wurde ein Anstieg der Aktivität des Fallouts gemessen. Eigentlich würde man wegen $$A(t)=\lambda\cdot N(t)=\underbrace{\lambda\cdot N_0}_{A_0}\cdot e^{-\lambda\cdot t}$$ eine Abnahme erwarten. Der Grund für die Zunahme liegt in der Entstehung von Zerfallsreihen. Die radioaktiven Mutternuklide zerfallen in Tochternuklide, die wiederum selbst radioaktiv sind und weiter zerfallen:
Radioaktive Enkel, Ur- und Ururenkel sind in dieser Simulation nicht berücksichtigt. Für die Summe der Mutter- und Tochterkerne gilt \(N_M+N_T\le N_0\). Die Summe der Aktivitäten $$A_M+A_T=\lambda_M\cdot N_M+\lambda_T\cdot N_T$$ kann aber \(A_0\) übersteigen:
erstellt von C. Wolfseher