Zerfallsgesetz | Halbwertszeit

Die Zerfallskonstante $\lambda$ eines radioaktiven Materials bestimmt also, mit welcher Wahrscheinlichkeit es zerfällt. Aber wie kommen wir an dieses in den geheimnisvollen Tiefen des Atomkerns verborgene $\lambda$ heran? 🤔

Zum Beispiel In der Praxis arbeitet man meist mit der Aktivität $A=\lambda\cdot N$ so: Wir messen $N(t)$ zu einem beliebigen Zeitpunkt $t$. Und dann $\Delta\tau$ später nochmal. Die Gleichung

$$N(t+\Delta\tau)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot (t+\Delta\tau)}=\underbrace{N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}}_{N(t)} \cdot \underbrace{ e^{-\lambda\cdot \Delta\tau}}_{\lt \, 1}$$

zeigt: $N(t)$ hat nach $\Delta\tau$ um den Faktor $e^{-\lambda\cdot \Delta\tau}$ abgenommen. Die Zeitspanne $\Delta\tau$, in der sich $N$ halbiert, nennt man Halbwertszeit $T_H$. Somit gilt:

$$e^{-\lambda\cdot T_H}=\frac{1}{2}$$

Logarithmieren und auflösen nach $T_H$ liefert mit
$\ln (2)=-\ln(\frac{1}{2})$

$$T_H=\frac{\ln{2}}{\lambda}$$

Kennen wir $T_H$, kennen wir $\lambda$ (und umgekehrt). Je kleiner die Zerfallskonstante $\lambda$ eines radioaktiven Materials ist, desto länger dauert es, bis die Hälfte zerfallen ist.

Eine mathematisch äquivalente Formulierung des Zerfallsgesetzes lautet: $$N(t)=N_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T_H}}$$

\begin{align} N(t)&=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}\\ &=N_0\cdot e^{-\frac{\ln{2}}{T_H}\cdot t}\\ &=N_0\cdot e^{-\ln{2}\cdot\frac{t}{T_H}}\\ &=N_0\cdot {\left(e^{\ln{2}}\right)}^{-\frac{t}{T_H}}\\ &=N_0\cdot 2^{-\frac{t}{T_H}}\\ &=N_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T_H}}\\ \end{align}

Die Anzahl der radioaktiven Kerne halbiert sich in der Zeit $t$ rund $\frac{t}{T_H}$-mal, egal wann und mit wie vielen Kernen man startet. Beispielsweise hat das 1986 bei der Nuklearkatastrophe von Tschernobyl freigesetzte Cäsium-137 die Halbwertszeit $T_H=$ 30 a. 60 Jahre später ist folglich immer noch rund ein Viertel der radioaktiven Nuklide vorhanden: $$N(60 \text{ a})=N_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{60 \text{ a}}{30 \text{ a}}}=N_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{2}=\frac{1}{4}N_0$$ Deshalb werden auch im Jahr 2046 Pilze oder Wildschweine im Bayerischen Wald weiterhin radioaktiv belastet sein.

Pu-239 hat eine Halbwertszeit von etwa 24100 Jahren. $$1 \text{ kg}\cdot{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{4000}{24100}}\approx891 \text{ g}$$ Hätten die alten Ägypter vor 4000 Jahren 1 kg Atommüll Pu-239 in der Großen Pyramide von Gizeh deponiert, dann würden heute noch 891 g davon radioaktiv strahlen. Dabei ist das Mutternuklid Pu-239 nur der Start einer ganzen Reihe weiterer radioaktiver Tochternuklide der Uran-Actinium-Reihe. Was wohl unsere Urenkel von uns denken werden? 😡

Experimentell ermittelte Zerfallskurven decken sich perfekt mit dem Zerfallsgesetz und bestätigen so auch unsere Annahme: Die Zerfallskonstante $\lambda$ ist konstant. Sie ändert sich nicht mit dem Alter der Kerne, hängt nur vom Material ab und ist . Die Kernumwandlung ist purer Zufall! Typisch Quantenphysik. 😏

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erstellt von C. Wolfseher