Die Zerfallskonstante \(\lambda\) eines radioaktiven Materials bestimmt also, mit welcher Wahrscheinlichkeit es zerfällt. Aber wie kommen wir an dieses in den geheimnisvollen Tiefen des Atomkerns verborgene \(\lambda\) heran? 🤔
Zum Beispiel In der Praxis arbeitet man meist mit der Aktivität \(A=\lambda\cdot N\) so: Wir messen \(N(t)\) zu einem beliebigen Zeitpunkt \(t\). Und dann \(\Delta\tau\) später nochmal. Die Gleichung
$$N(t+\Delta\tau)=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot (t+\Delta\tau)}=\underbrace{N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}}_{N(t)} \cdot \underbrace{ e^{-\lambda\cdot \Delta\tau}}_{\lt \, 1}$$zeigt: \(N(t)\) hat nach \(\Delta\tau\) um den Faktor \(e^{-\lambda\cdot \Delta\tau}\) abgenommen. Die Zeitspanne \(\Delta\tau\), in der sich \(N\) halbiert, nennt man Halbwertszeit \(T_H\). Somit gilt:
$$e^{-\lambda\cdot T_H}=\frac{1}{2}$$
Logarithmieren und auflösen nach \(T_H\)
liefert
mit
\(\ln (2)=-\ln(\frac{1}{2})\)
Kennen wir \(T_H\), kennen wir \(\lambda\) (und umgekehrt). Je kleiner die Zerfallskonstante \(\lambda\) eines radioaktiven Materials ist, desto länger dauert es, bis die Hälfte zerfallen ist.
Eine mathematisch äquivalente Formulierung des Zerfallsgesetzes lautet: $$N(t)=N_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T_H}}$$
\begin{align} N(t)&=N_0\cdot e^{-\lambda\cdot t}\\ &=N_0\cdot e^{-\frac{\ln{2}}{T_H}\cdot t}\\ &=N_0\cdot e^{-\ln{2}\cdot\frac{t}{T_H}}\\ &=N_0\cdot {\left(e^{\ln{2}}\right)}^{-\frac{t}{T_H}}\\ &=N_0\cdot 2^{-\frac{t}{T_H}}\\ &=N_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T_H}}\\ \end{align}
Die Anzahl der radioaktiven Kerne halbiert sich in der Zeit \(t\) rund \(\frac{t}{T_H}\)-mal, egal wann und mit wie vielen Kernen man startet. Beispielsweise hat das 1986 bei der Nuklearkatastrophe von Tschernobyl freigesetzte Cäsium-137 eine Halbwertszeit \(T_H=\) 30 a. 60 Jahre später ist folglich immer noch rund ein Viertel der radioaktiven Nuklide vorhanden: $$N(60 \text{ a})=N_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{60 \text{ a}}{30 \text{ a}}}=N_0\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{2}=\frac{1}{4}N_0$$ Deshalb werden auch im Jahr 2046 Pilze oder Wildschweine im Bayerischen Wald weiterhin radioaktiv belastet sein.
Pu-239 hat eine Halbwertszeit von etwa 24100 Jahren. $$1 \text{ kg}\cdot{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{4000}{24100}}\approx891 \text{ g}$$ Hätten die alten Ägypter vor 4000 Jahren 1 kg Atommüll Pu-239 in der Großen Pyramide von Gizeh deponiert, dann würden heute noch 891 g davon radioaktiv strahlen. Dabei ist das Mutternuklid Pu-239 nur der Start einer ganzen Reihe weiterer radioaktiver Tochternuklide der Uran-Actinium-Reihe. Was wohl unsere Urenkel von uns denken werden? 😡
Experimentell ermittelte Zerfallskurven decken sich perfekt mit dem Zerfallsgesetz und bestätigen so auch unsere Annahme: Die Zerfallskonstante \(\lambda\) ist konstant. Sie ändert sich nicht mit dem Alter der Kerne, hängt nur vom Material ab und ist durch nichts zu beinflussen weder durch Hitze oder Druck noch durch Neutrinos … . Die Kernumwandlung ist purer Zufall! Typisch Quantenphysik. 😏
erstellt von C. Wolfseher