Zerfallsgesetz | stochastische Herleitung

Bei unserem Würfelspiel wird jeder Würfel pro Runde mit der konstanten Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{6}$ aussortiert. Analog nehmen wir an, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kern in einer kurzen Zeitspanne $\Delta t$ zerfällt, konstant ist:

$$\frac{p}{\Delta t}=\text{ konst.} \mathrel{:=} \lambda$$

Die Konstante $\lambda$ – nennen wir sie Zerfallskonstante – ist also eine Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit.

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Kern im Zeitintervall $\Delta t$ nicht zerfällt, ist dann:

$$1-p=1-\lambda\cdot\Delta t$$

Die Wahrscheinlichkeit $P(t)$, dass er $r$ Runden $\Delta t$ hintereinander, also bis zum Zeitpunkt $t=r\cdot\Delta t$ überlebt, ist:

$$P(t)=\left(1-\lambda\cdot\Delta t\right)^r$$

$P(t)$ ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten von $r$ stochastisch unabhängigen Ereignissen. So wie sich der Würfel nicht an die vorhergehenden Runden erinnert, hinterlassen auch beim Kern die vergangenen Zeitintervalle keine Alterserscheinungen, welche die Zerfallswahrscheinlichkeit in der nächsten Runde $\Delta t$ erhöhen würden. Diese Annahme ist umso plausibler, je kürzer $\Delta t$ ist. Wir erhalten möglichst kurze $\Delta t$, wenn wir $t$ in möglichst viele $\Delta t$ unterteilen. Warum nicht unendlich viele? Schließlich vergeht die Zeit nicht in diskreten Sprüngen, sondern fließt kontinuierlich, oder?

Mit $\Delta t=\frac{t}{r}$ und $r \to \infty$ erhalten wir:

$$P(t)=\lim_{r \to \infty}{\left(1-\lambda\cdot\frac{t}{r}\right)^r}=\lim_{r \to \infty}{\left(1+\frac{-\lambda\cdot t}{r}\right)^r}$$

Dieser Grenzwert kommt uns doch bekannt vor. 🤔 Ja 😲, dahinter steckt die Definition der natürlichen Exponentialfunktion:

$$e^x=\lim_{n \to \infty}{\left(1+\frac{x}{n}\right)^n} \qquad (n \in \mathbb{N})$$

Damit ergibt sich die

Wahrscheinlichkeit $P(t)$, dass ein Kern während der Beobachtungsdauer bis zum Zeitpunkt $t$ nicht zerfällt: $$P(t)=e^{-\lambda\cdot t}$$

Fast geschafft! Wir sind schon nahe am Zerfallsgesetz …

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erstellt von C. Wolfseher