Zum Erzeugen eines Interferenzmusters auf dem Schirm reicht erstaunlicherweise auch schon ein einzelner Spalt,
vorausgesetzt, er wird mit
kohärentem Licht
beispielsweise einem Laser bestrahlt.
Ein Maximum 0. Ordnung wird von schwachen Maxima höherer Ordnung flankiert.
Je
schmaler der Spalt
Die relative Höhe der Maxima ist von der Spaltbreite unabhängig., desto breiter die Maxima.
Die Erklärung der Struktur des Interferenzbildes ist
nicht trivial
insbesondere für elektromagnetische Wellen.
Die Lage der Minima lässt sich aber anschaulich
mit dem huygensschen Prinzip herleiten.
Dazu betrachten wir jeden Ort im Spalt als Ursprung einer Elementarwelle.
Wenn der Abstand vom Spalt zum Schirm viel größer als die Spaltbreite ist, dürfen wir wieder alle
Wellenzüge der Elementarwellen, die in einem Punkt am Schirm interferieren, am Spalt als parallel betrachten.
Diese Wellenzüge schließen dann mit der optischen Achse den gleichen Winkel ein.
Denken wir uns den Spalt der Breite \(b\) in zwei Hälften unterteilt. Dann hat jeder Wellenzug der oberen Hälfte
einen Partner
im Abstand \(\frac{b}{2}\) in der unteren Hälfte. Die Partner jedes Pärchens haben den gleichen Gangunterschied \(\Delta s\).
Ist
\(\Delta s =\frac{\lambda}{2}\)
und damit \(\Delta\varphi\)zwischen den Zeigern 180°, löschen sich alle Partner gegenseitig aus und am Schirm resultiert das Minimum 1. Ordnung.
Der Gangunterschied
\(\Delta s_{ges}\)
Beachte die ähnlichen Dreiecke mit den entsprechenden Seiten \(\Delta s\) und \(\Delta s_{ges}\). über die gesamte Spaltbreite ist dann eine Wellenlänge.
In Richtung des Minimums 2. Ordnung denken wir uns vier Lichtbündel. Nun hat jeder Wellenzug aus dem oberen Viertel des Spalts einen destruktiven Partner
im darunterliegenden Viertel mit Gangunterschied \(\Delta s =\frac{\lambda}{2}\). Ebenso findet sich zu jedem Wellenzug aus dem dritten Bündel einer
aus dem untersten Bündel, der um 180° phasenverschoben im 2. Minimum auf dem Schirm landet.
Der Gangunterschied über die ganze Spaltbreite beträgt jetzt zwei Wellenlängen.
… sechs Lichtbündel. Nun hat jeder Wellenzug aus dem oberen Sechstel des Spalts einen destruktiven Partner
im darunterliegenden Sechstel mit Gangunterschied \(\Delta s =\frac{\lambda}{2}\). Ebenso findet sich zu jedem Wellenzug
aus dem 3. und 5. Bündel einer
aus dem 4. und 6. Bündel, der um 180° phasenverschoben im 3. Minimum auf dem Schirm landet.
Der Gangunterschied über die ganze Spaltbreite beträgt jetzt drei Wellenlängen.
Hinter einem Einzelspalt bilden sich Interferenzminima \(k\)-ter Ordnung, wenn der Gangunterschied der Randstrahlen des Spalts \(k\) Wellenlängen beträgt:
$$\Delta s_{ges}=k\cdot \lambda \qquad (k=1,\; 2,\; 3,\;\ldots)$$
Für die
Richtung \(\alpha_k\)
Winkel zwischen Mittelsenkrechter zum Spalt und Beobachtungsrichtung der Minima bei der Beugung am Einzelspalt der Breite \(b\)
gilt somit
wegen \(\sin \alpha_k=\frac{\Delta s_{ges}}{b}\):
$$\sin \alpha_k=\frac{k\cdot \lambda}{b}\qquad (k=1,\; 2,\; 3,\;\ldots)$$
Und die Maxima? Die liegen zwischen den Minima. Aber nicht genau mittig. Neben dem
0. Maximum
in dem gut 90 % der Strahlungsleistung steckt auf der Mittelsenkrechten
des Spalts, wo alle Elementarwellen gleichphasig mit dem Gangunterschied 0 ankommen, gilt für den Beugungswinkel \(\alpha_k\)
des \(k\)-ten Maximums näherungsweise:
$$\sin \alpha_k \approx \frac{\left(2k+1\right)\cdot \frac{\lambda}{2}}{b}\qquad (k=1,\; 2,\; 3,\;\ldots)$$
Hinter einem Einzelspalt bilden sich Interferenzminima \(k\)-ter Ordnung, wenn der Gangunterschied der Randstrahlen des Spalts \(k\) Wellenlängen beträgt:
$$\Delta s_{ges}=k\cdot \lambda \qquad (k=1,\; 2,\; 3,\;\ldots)$$
Für die
Richtung \(\alpha_k\)
Winkel zwischen Mittelsenkrechter zum Spalt und Beobachtungsrichtung
der Minima bei der Beugung am Einzelspalt der Breite \(b\)
gilt somit
wegen \(\sin \alpha_k=\frac{\Delta s_{ges}}{b}\)
:
$$\sin \alpha_k=\frac{k\cdot \lambda}{b}\qquad (k=1,\; 2,\; 3,\;\ldots)$$