relativistischer Dopplereffekt

Licht ist eine elektromagnetische Welle. Es ist also ein dem akustischen entsprechender optischer Dopplereffekt zu erwarten. Aber zwischen Schallwellen und Lichtwellen gibt es einen wesentlichen Unterschied: Licht benötigt kein Wellenmedium.

Sender nähert sich Empfänger $$f_E=\frac{c}{c-v}\cdot f_S \qquad (1)$$

Empfänger nähert sich Sender $$f_E=\frac{c+v}{c}\cdot f_S \qquad (3)$$

Sich im Vakuum ausbreitende elektromagnetische Wellen hingegen haben keinen Wellenträger, relativ zu dem wir einen Lichtsender oder -empfänger als ruhend oder bewegt festlegen könnten. Jeder kann mit gleichem Recht von sich behaupten, er ruhe, während sich der andere bewegt. Die ist in allen Bezugssystemen gleich. Darauf basiert die Spezielle Relativitätstheorie. Es gibt nur eine Relativgeschwindigkeit $v$ zwischen Sender und Empfänger. Die beiden Formeln müssten bei gleichem $v$ und $f_S$ die selbe Empfängerfrequenz $f_E$ liefern. Tun sie aber nicht!

Weil wir die Rechnung ohne die Zeitdilatation gemacht haben. Nach erhalten wir:

Ein Sender strahlt elektromagnetische Wellen mit der Frequenz $f_S$ ab. Die ausgesandten Wellenfronten haben den zeitlichen Abstand $T_S$ einer Schwingungsdauer.

Bewegt sich der Sender im Ruhesystem des Empfängers mit der Geschwindigkeit $v$, so nimmt der Empfänger wegen der Zeitdilatation die größere Schwingungsdauer $$T'_S=\frac{T_S}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ und $$f'_S=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\cdot f_S$$ wahr. In Formel (1) muss also $f_S$ durch $f'_S$ ersetzt werden: $$f_E=\frac{c}{c-v}\cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\cdot f_S \qquad (1')$$

Bewegt sich der Empfänger im Ruhesystem des Senders mit der Geschwindigkeit $v$, so dauert $T_E$ wegen der Zeitdilatation für den Empfänger länger: $$T'_E=\frac{T_E}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ Er empfängt also pro Sekunde mehr Wellenfronten und misst statt $f_S$ die vergrößerte Frequenz $$f'_S=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\cdot f_S$$ In Formel (3) muss also $f_S$ durch $f'_S$ ersetzt werden: $$f_E=\frac{c+v}{c} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\cdot f_S \qquad (3')$$

Na toll. Immer noch zwei verschiedene Formeln. Lass dich nicht täuschen. Tatsächlich sind (1') und (3') äquivalent, weil $$\frac{c}{c-v}\cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{c+v}{c} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ Beide Seiten der Gleichung kann man zu $$\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}$$ vereinfachen.

$$\frac{c}{c-v}\cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$ \begin{align} &=\cssId{StepL0}{\frac{1}{1-\frac{v}{c}}\cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=}\cssId{StepL1}{\frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{v}{c}}}\\ &\cssId{StepL2}{=\frac{\sqrt{1-\frac{v}{c}}\cdot \sqrt{1+\frac{v}{c}}}{\sqrt{1-\frac{v}{c}}\cdot \sqrt{1-\frac{v}{c}}}=}\cssId{StepL3}{\sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}}\\ &\cssId{StepL4}{=\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}}\\ \end{align}

$$\frac{c+v}{c} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ \begin{align} &=\cssId{StepR0}{\left(1+\frac{v}{c}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=}\cssId{StepR1}{\frac{1+\frac{v}{c}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}}\\ &\cssId{StepR2}{=\frac{\sqrt{1+\frac{v}{c}}\cdot \sqrt{1+\frac{v}{c}}}{\sqrt{1+\frac{v}{c}}\cdot \sqrt{1-\frac{v}{c}}}=}\cssId{StepR3}{\sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}}\\ &\cssId{StepR4}{=\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}}\\ \end{align}

elektromagnetischer Wellen mit der Relativgeschwindigkeit $v$, so ist die Empfangsfrequenz $f_E$ größer als die Sendefrequenz $f_S$ und es gilt: $$f_E=\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}\cdot f_S \qquad (5)$$

Entfernen sich Sender und Empfänger voneinander, müssen wir ausgehend von und nach analoger Vorgehensweise in Formel (5) nur $+$ und $-$ vertauschen.

elektromagnetischer Wellen mit der Relativgeschwindigkeit $v$, so ist die Empfangsfrequenz $f_E$ kleiner als die Sendefrequenz $f_S$ und es gilt: $$f_E=\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}\cdot f_S \qquad (6)$$

Das sichtbare Spektrum elektromagnetischer Wellen erstreckt sich mit von Rot über Gelb, Grün, Blau bis Violett. Diesbezüglich bezeichnet man eine

Ja. Schon mal im knietiefen Wasser am Strand entlang gelaufen? Bremst heftig. So ergeht es auch Licht im Wasser (oder in anderen Medien mit einem Brechungsindex $n \gt 1$). Dort breitet sich Licht langsamer nur 0,23 statt 0,30 Millionen km pro s aus als in Luft oder Vakuum. Deshalb können Teilchen unter Einhaltung des Tempolimits $c_{\text{ Vakuum}}$ Licht in einem Medium überholen.

blau glühende Tscherenkow-Strahlung - Image credit: Jason Richards/ORNL

Wenn sie elektrisch geladen sind, tritt dabei der Tscherenkow-Effekt benannt nach Pawel Tscherenkow, sowjetischer Physiker (1904-1990) auf: Das Teilchen polarisiert Atome des Mediums und es ensteht elektromagnetische Strahlung in senkrechter Richtung zur Mantelfläche eines Kegels, den das Teilchen hinter sich her zieht. So wie der Düsenjet den Machschen Kegel. Diese Tscherenkow-Strahlung ist beispielsweise im Wasser zwischen den Brennelementen in Atomreaktoren als blaues Glühen beobachtbar. Die Betastrahlung der Spaltprodukte besteht nämlich aus Elektronen, die im Wasser schneller als das Licht sind.

In Teilchendetektoren wird der Tscherenkow-Effekt zum Nachweis schneller geladener Teilchen verwendet.