× Inhaltsverzeichnis 1. Postulate 2. Gleichzeitigkeit     endlich schnell     Synchronisation 3. Zeitdilatation 4. Längenkontraktion 5. Relativitätsprinzip 6. Uhrenparadoxon C. Wolfseher

Zeitdilatation - Bewegung hält jung

Die Relativität der Gleichzeitigkeit zeigt, dass die Zeitspanne zwischen zwei Ereignissen – beispielsweise Beginn und Ende eines Vorgangs – für verschiedene Beobachter unterschiedlich lang sein kann. Jedes Bezugssystem hat seine eigene Zeit.

Wir denken uns eine Lichtuhr, bei der als Taktgeber ein Lichtsignal dient, das ständig zwischen zwei Spiegeln hin und her reflektiert wird.

Wie hoch ist nebenstehende Lichtuhr?

Sie ist 300 000 km c · 1 s hoch. Das ist die Streckenlänge, die das Licht in einer Sekunde zurücklegt. Man nennt diese Streckenlänge eine Lichtsekunde (1 Ls) Lichtsekunde ist eine Längeneinheit, keine Zeiteinheit! .

In welcher Zeiteinheit misst eine 30 cm hohe Lichtuhr?

Das Lichtsignal benötigt eine Periodendauer, um zu seinem Ausganspunkt zurückzukehren. \begin{align} c=\frac{2\cdot 30 \text{ cm}}{t} \Rightarrow t &=\frac{60\text{ cm}}{c}\\ &=\frac{60\text{ cm}}{3\cdot 10^{10}\frac{\text{cm}}{\text{s}}}\\ &= 0,000\,000\,002 \text{ s}\\ &= 2 \text{ ns}\\ \end{align} Die 30 cm hohe Lichtuhr "tickt" im Rhythmus von 2 Nanosekunden.

Nun werden zwei synchronisierte Lichtuhren A und B aufgestellt, an denen sich eine dritte Uhr C mit der Geschwindigkeit \(v\) vorbei bewegt. Die Uhren werden genau dann gestartet, wenn die bewegte Uhr Die Längenkontraktion der bewegten Uhr wird später besprochen und hier nicht dargestellt. C die ruhende Uhr A passiert.

Zitat von Albert Einstein

Für einen mit der Uhr C bewegten Beobachter legt das Lichtsignal LC während der Reise von A nach B den Weg \(c \cdot t'\) zurück, für einen ruhenden den Weg \(\color{red}{c \cdot t}\). Letzterer ist länger: $$\color{red}{c \cdot t} \gt \color{green}{c \cdot t'}$$ Da die Lichtgeschwindigkeit \(c\) (gemäß dem zweiten Postulat Einsteins) für beide gleich ist, muss gelten: $$\color{red}{t} \gt \color{green}{t'}$$ Im Inertialsystem der beiden ruhenden Uhren dauert die Reise also länger als im Inertialsystem der bewegten Uhr!

Die vom Lichtsignal LC sowie der Uhr C zurückgelegten Streckenlängen bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Es gilt der Satz des Pythagoras: $$\left(\color{green}{c \cdot t'}\right)^2+\left(v \cdot t\right)^2=\left(\color{red}{c \cdot t}\right)^2$$ Löse die Gleichung nach \(t'\) auf!

\begin{align} \left(c \cdot t'\right)^2+\left(v \cdot t\right)^2 &= \left(c \cdot t\right)^2\\ \left(c \cdot t'\right)^2 &= \cssId{Step1}{ \left(c \cdot t\right)^2 - \left(v \cdot t\right)^2}\\ c^2 \cdot\left(t'\right)^2 &= \cssId{Step2}{ c^2 \cdot t^2 - v^2 \cdot t^2}\\ \left(t'\right)^2 &= \cssId{Step3}{ t^2 - \frac{v^2}{c^2} \cdot t^2}\\ \left(t'\right)^2 &= \cssId{Step4}{ \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) \cdot t^2}\\ t' &= \cssId{Step5}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}\cdot t} \end{align}

Relativitätsprinzip und Zeitdilatation

Zeitdilatation lat. dilatio Verzögerung : Bewegte Uhren gehen langsamer \(0\lt\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}\le 1\) . $$t'=\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}\cdot t$$

Licht- und andere Uhren

\(t'\) ist die von der mit \(v\) bewegten Uhr angezeigte Zeit.
\(t\) ist die von ruhenden Uhren gemessene Zeit.

Luke Skywalker fliegt mit 60 % der Lichtgeschwindigkeit von A nach B. Die Bodenstation in B ermittelt (mithilfe zweier synchronisierter Uhren in A und B) eine Flugdauer von 10 h. Welche Reisezeit zeigt Lukes Uhr an Bord des Raumschiffs an?
\begin{align} t'&=\sqrt{1-\left(\frac{0,6 \cdot c}{c}\right)^2}\cdot 10\text{ h}\\ &= \sqrt{1-0,36}\cdot 10\text{ h}\\ &= \sqrt{0,64}\cdot 10\text{ h}\\ &= 0,8\cdot 10\text{ h}\\ &= 8\text{ h} \end{align}

Die Zahl \(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}\) wird als Lorentzfaktor \(\gamma\) wurde von Hendrik Antoon Lorentz im Rahmen der von ihm ausgearbeiteten Lorentz-Transformation entwickelt. bezeichnet. Er gibt das Verhältnis \(\frac{t}{t'}\) an. Berechne und interpretiere \(\gamma\) für verschiedene \(v\)!

\(v\) \(\gamma\) Interpretation
0 1 \(t'=t\) für relativ zueinander ruhende Bezugssysteme.
100 km/h ≈ 1 Zeitdilatation nicht wahrnehmbar.
1235 km/h ≈ 343 m/s Schallgeschwindigkeit ≈ 1 Auch nicht bei Überschallflugzeugen.
108 Mio km/h ≈ 10 % von \(c\) ≈ 1,005 Zeitdilatation macht sich bemerkbar.
87 % von \(c\) ≈ 2 In zwei Stunden vergeht im vorbeifliegenden Raumschiff eine.
0,99 \(c\) ≈ 7,089 Ein Vorgang dauert rund 7-mal so lang.
0,999 \(c\) ≈ 22,37 für \(v\rightarrow c\) gilt \(\gamma\rightarrow \infty\)
\(c\) nicht definiert Nichts außer Licht bewegt sich mit \(v=c\).

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