Die Relativität der Gleichzeitigkeit
legt nahe, dass die
Zeitspanne zwischen zwei Ereignissen
– beispielsweise Beginn und Ende eines Vorgangs –
für verschiedene Beobachter unterschiedlich lang sein kann.
Wir denken uns eine Lichtuhr, bei der als Taktgeber ein Lichtsignal dient,
das ständig zwischen zwei Spiegeln hin und her reflektiert wird.
Sie ist c · 1 s = 300 000 km hoch. Das ist die Streckenlänge,
die das Licht in einer Sekunde zurücklegt. Man nennt diese Länge
Lichtsekunde (1 Ls)
Längeneinheit, keine Zeiteinheit!.
Das Lichtsignal benötigt eine Periodendauer \(T\), um zu seinem Ausgangspunkt
zurückzukehren.
$$
c=\frac{2\cdot 30 \text{ cm}}{T} \Rightarrow T =\frac{60\text{ cm}}{c}
=\frac{0,6\text{ m}}{3\cdot 10^{8}\frac{\text{m}}{\text{s}}}\
= 2\cdot 10^{-9}\text{ s}
= 2 \text{ ns}\\
$$
Die 30 cm hohe Lichtuhr "tickt" im Rhythmus von 2 Nanosekunden.
Nun werden zwei synchronisierte Lichtuhren A und B aufgestellt,
an denen sich eine dritte Uhr C
mit der Geschwindigkeit \(v\) vorbeibewegt. Die Uhren werden genau dann gestartet,
wenn die
bewegte Uhr
Die Längenkontraktion der bewegten Uhr wird später besprochen und hier
nicht dargestellt.C die ruhende Uhr A passiert.
Für einen Beobachter, der sich mit der Uhr C bewegt, legt das
Lichtsignal LC
während der Reise von A nach B
den Weg \(c \cdot t'\) zurück,
für einen ruhenden Beobachter den Weg \(\color{red}{c \cdot t}\).
Letzterer ist länger:
$${\color{red}{c \cdot t}} \gt {\color{green}{c \cdot t'}}$$
Da die Lichtgeschwindigkeit \(c\) (gemäß dem zweiten
Postulat
Einsteins) für beide gleich ist, muss gelten:
$${\color{red}{t}} \gt {\color{green}{t'}}$$
Uhrentransport mit Zeitverschiebung
„Hieraus ergibt sich folgende eigentümliche Konsequenz. Sind in den Punkten A und B
[…] ruhende, im ruhenden
System betrachtet synchron gehende Uhren vorhanden, und bewegt man die Uhr in A mit der
Geschwindigkeit v
auf der Verbindungslinie nach B, so gehen nach Ankunft dieser Uhr in B die beiden Uhren
nicht mehr synchron, sondern die von A nach B bewegte Uhr geht gegenüber der von Anfang
an in B befindlichen […]
nach […].“
aus: A. Einstein Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annalen der Physik 17 (1905)
Im Inertialsystem der beiden ruhenden Uhren dauert die Reise also länger als im Inertialsystem der bewegten
Uhr!
Die vom Lichtsignal LC und von der Uhr C zurückgelegten
Strecken bilden ein rechtwinkliges Dreieck.
Es gilt der Satz des Pythagoras:
$$\left({\color{green}{c \cdot t'}}\right)^2+\left(v \cdot t\right)^2=\left({\color{red}{c \cdot t}}\right)^2$$
Löse die Gleichung nach \(t'\) auf!
Nach dem Relativitätsprinzip
kann jeder behaupten, er ruhe, während der andere sich an ihm vorbeibewegt.
Welchen Sinn hat dann der Merksatz?
Als ruhend wird hier das Inertialsystem bezeichnet, in dem man zwei synchronisierte Uhren
zum
Zeitvergleich mit der einen, an ihnen vorbeiziehenden Uhr benötigt.
In diesem System finden Beginn und Ende der Zeitspanne \(\Delta t\) an verschiedenen Orten statt.
Da die bewegte Uhr mit den ruhenden nicht synchron geht, kann man mit ihr nur Zeitspannen \(\Delta t'\)
messen, deren Anfang und Ende
an ihr selbst abgelesen werden. Man nennt diese Zeitspannen Eigenzeit.
Also nochmal genau formuliert: Eine relativ zu einem Beobachter bewegte Uhr geht aus der Sicht des
Beobachters langsamer als ein Satz synchronisierter, relativ zum Beobachter ruhender Uhren.
Das Relativitätsprinzip gilt auch für die Zeitdilatation:
In jedem System vergeht die Zeit eines
anderen
also mit \(v\) vorbeiziehenden Inertialsystems langsamer.
Eine Lichtuhr kann zur Messung der Zeitdauer beliebiger Prozesse verwendet werden.
Die Zeitdilatation ist also nicht auf Lichtuhren beschränkt, sondern betrifft generell alle
Vorgänge des Werdens und Vergehens:
Zeitspanne für die Hin- und Her-Bewegung eines Pendels
Dauer, bis die Spaghetti al dente gekocht sind
Lebensdauer einer Eintagsfliege
wie lange die Unterrichtsstunde dauert
…
Die Lichtuhren der veranschaulichenden Animationen repräsentieren die Zeit an einem Punkt im Raum.
Wir können diesen am unteren Spiegel definieren, auf den das Photon
periodisch
Das rechtwinklige Dreieck zur Herleitung der Zeitdilatation wird dann ein gleichschenkliges. Am Ergebnis ändert sich nichts. auftrifft.
Zudem kann der Abstand zwischen den Spiegeln (und damit die Periodendauer) beliebig klein gemacht werden.
\(\Delta t'\) ist die auf der mit \(v\) bewegten Uhr verstrichene Zeitspanne. \(\Delta t\) ist die von ruhenden Uhren gemessene Zeitspanne.
Die Zahl \(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}\) wird als
Lorentzfaktor
\(\gamma\) wurde von Hendrik Antoon Lorentz im Rahmen der von ihm ausgearbeiteten
Lorentz-Transformation entwickelt. bezeichnet. Er gibt das Verhältnis
\(\frac{\Delta t}{\Delta t'}\) an.
\(v\)
\(\gamma\)
Interpretation
0
1
\(\Delta t'=\Delta t\) für relativ zueinander ruhende Bezugssysteme.
100 km/h
≈ 1
Zeitdilatation nicht wahrnehmbar.
1235 km/h
≈ 343 m/s Schallgeschwindigkeit
≈ 1
Auch nicht bei Überschallflugzeugen.
108 Mio km/h
≈ 10 % von \(c\)
≈ 1,005
Zeitdilatation macht sich bemerkbar.
87 % von \(c\)
≈ 2
In zwei Stunden vergeht im vorbeifliegenden Raumschiff eine.
0,99 \(c\)
≈ 7,089
Ein Vorgang dauert rund 7-mal so lang.
0,999 \(c\)
≈ 22,37
für \(v\rightarrow c\) gilt \(\gamma\rightarrow \infty\)
„Hieraus ergibt sich folgende eigentümliche Konsequenz. Sind in den Punkten A und B
[…] ruhende, im ruhenden
System betrachtet synchron gehende Uhren vorhanden, und bewegt man die Uhr in A mit der
Geschwindigkeit v
auf der Verbindungslinie nach B, so gehen nach Ankunft dieser Uhr in B die beiden Uhren
nicht mehr synchron, sondern die von A nach B bewegte Uhr geht gegenüber der von Anfang
an in B befindlichen […]
nach […].“