Ein Raumschiff fliegt mit der Geschwindigkeit \(v\) entlang eines (sehr langen) Maßstabs. Die Bodenstation misst mit Hilfe zweier synchronisierter Uhren die dafür benötigte Zeit \(t\) und berechnet mit \(\color{red}{l} = v \cdot \color{red}{t}\) die Länge \(l\) des Maßstabs.
Der Astronaut im Raumschiff sieht (gemäß dem Relativitätsprinzip) den Maßstab mit der Geschwindigkeit \(v\) an sich vorbeiziehen. Er misst mit Hilfe seiner Uhr die dafür benötigte Zeit \(t'\) und berechnet mit \(\color{green}{l'} = v \cdot \color{green}{t'}\) die Länge \(l'\) des Maßstabs.
Weil aber wegen der Zeitdilatation \(\color{green}{t'} \lt \color{red}{t}\), ist auch \(\color{green}{l'} \lt \color{red}{l}\). Im Inertialsystem, in dem sich der Maßstab bewegt, ist er also kürzer als im Inertialsystem, in dem er ruht!
Wie hängen \(l'\) und \(l\) zusammen?
\begin{align} l' &= v \cdot t'\\ &=\cssId{Step1}{v \cdot t \cdot \sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}\\ &=\cssId{Step2}{l \cdot \sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}\\ \end{align}
Albert Einstein (1879 - 1955)
„Ein starrer Körper, welcher in ruhendem Zustand ausgemessen die Gestalt einer Kugel [mit Radius \(R\)] hat,
hat also in
[mit der Geschwindigkeit \(v\) in \(x\)-Richtung]
bewegtem Zustande - vom ruhenden System aus betrachtet - die Gestalt eines
Rotationsellipsoides mit den Achsen
\(R\cdot\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^2},R,R\).“
Anmerkung: Einstein verwendete \(V\) als Größensymbol für die Lichtgeschwindigkeit.
\(l'\) ist die Länge im System, in dem sich der Maßstab mit \(v\) bewegt.
\(l\) ist die Länge im System, in dem der Maßstab ruht.