Am 20. Oktober 1983 wurde in der 17. Generalkonferenz für Maße und Gewichte festgelegt:
Das Meter ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum im
299792458. Teil einer Sekunde zurücklegt.
Astronautin Susi fliegt mit der Geschwindigkeit \(v\) entlang eines (sehr langen) Maßstabs.
Peter in der Bodenstation misst mit Hilfe zweier synchronisierter Uhren die dafür benötigte Zeit \(t\)
und berechnet mit \(\color{red}{l} = v \cdot \color{red}{t}\)
die Länge \(l\)
des Maßstabs.
Susi im Raumschiff sieht (gemäß dem Relativitätsprinzip)
den Maßstab mit der Geschwindigkeit \(v\) an sich vorbeiziehen.
Sie misst mit ihrer Uhr die dafür benötigte Zeit \(t'\) und
berechnet
mit \(\color{green}{l'} = v \cdot \color{green}{t'}\)
die Länge \(l'\)
des Maßstabs.
Weil aber wegen der Zeitdilatation
\(\color{green}{t'} \lt \color{red}{t}\), ist auch
\(\color{green}{l'} \lt \color{red}{l}\).
Im Inertialsystem, in dem sich der Maßstab bewegt, ist er also kürzer als im Inertialsystem, in dem
er ruht!
Wie hängen \(l'\) und \(l\) zusammen?
\begin{align}
l' &= v \cdot t'\\
&=\cssId{Step0}{v \cdot t \cdot \sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}\\
&=\cssId{Step1}{l \cdot \sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}\\
\end{align}
vom Fuß- zum Rugbyball
„Ein starrer Körper, welcher in ruhendem Zustand ausgemessen die Gestalt einer Kugel [mit
Radius \(R\)] hat,
hat also in
[mit der Geschwindigkeit \(v\)
in \(x\)-Richtung]
bewegtem Zustande - vom ruhenden System aus betrachtet - die Gestalt eines
Rotationsellipsoides
mit
den Achsen
\(R\cdot\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^2},R,R\).“
Anmerkung: Einstein verwendete \(V\) als
Größensymbol für die Lichtgeschwindigkeit.
aus: A. Einstein Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annalen der Physik 17 (1905)
Längenkontraktion
lat. contractio Verkürzung: In Längsrichtung bewegte Maßstäbe erscheinen
verkürzt
\(0\lt\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}\le 1\).
$$l'=\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}\cdot l$$
\(l'\) ist die Länge im System, in dem sich der Maßstab mit \(v\)
bewegt. \(l\) ist die Länge im System, in dem der Maßstab ruht.
„Ein starrer Körper, welcher in ruhendem Zustand ausgemessen die Gestalt einer Kugel [mit
Radius \(R\)] hat,
hat also in
[mit der Geschwindigkeit \(v\)
in \(x\)-Richtung]
bewegtem Zustande - vom ruhenden System aus betrachtet - die Gestalt eines
Rotationsellipsoides
mit
den Achsen
\(R\cdot\sqrt{1-\left(\frac{v}{V}\right)^2},R,R\).“