„Befinden sich in A zwei synchron gehende Uhren und bewegt man die eine derselben auf einer
geschlossenen Kurve
mit konstanter Geschwindigkeit, bis sie wieder nach A zurückkommt, was \(t\) Sek. dauern
möge,
so geht die letztere Uhr bei ihrer Ankunft gegenüber der unbewegt gebliebenen um \(\frac{1}{2}t{\left(v
/ V\right)}^2\)
Sek. nach. Man schließt daraus, daß eine am Erdäquator befindliche Unruhuhr um einen sehr kleinen Betrag langsamer laufen muß
als eine genau gleich beschaffene, sonst gleichen Bedingungen unterworfene, an einem Erdpole befindliche Uhr.
“
Anmerkung: Einstein
verwendete \(V\) als
Größensymbol für die Lichtgeschwindigkeit und die
Näherung
Entwicklung der Wurzel für \(v \ll c\)
\(\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}\approx 1-\frac12\left(\frac{v}{c}\right)^2\).
Damit gilt für die Eigenzeit der bewegten Uhr \(t'\approx t\left(1-\frac12\left(\frac{v}{c}\right)^2\right)\)
und schließlich \(t-t'\approx \frac12\,t\,\left(\frac{v}{c}\right)^2\).
aus: A. Einstein Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annalen der Physik 17 (1905)
In jedem System gehen also die Uhren eines mit \(v\) vorbeiziehenden Inertialsystems langsamer.
Was aber, wenn eine Uhr wieder zu einer bereits passierten zurückkehrt. Welche geht dann bei ihrer
Gegenüberstellung nach?
„Am drolligsten wird die Sache“A. Einstein, Die
Relativitäts-Theorie, Vierteljahresschrift der Naturforschenden Gesellschaft Zürich, Jahrgang 56,
1911,
wenn man die Uhren durch Zwillinge ersetzt:
Die biologische Uhr
„Man muss hinzufügen, daß das, was für diese Uhr gilt, welche wir als einen einfachen Repräsentanten alles physikalischen
Geschehens eingeführt haben, auch gilt für ein in sich abgeschlossenes physikalisches System irgendwelcher anderer
Beschaffenheit. Wenn wir z. B. einen lebenden Organismus in eine Schachtel hineinbrächten und ihn dieselbe
Hin- und Herbewegung ausführen ließen wie vorher die Uhr, so könnte man es erreichen, daß dieser Organismus nach
einem beliebig langen Fluge beliebig wenig geändert wieder an seinem ursprünglichen Ort zurückkehrt, während ganz
entsprechend beschaffene Organismen, welche an den ursprünglichen Orten ruhend geblieben sind, bereits längst neuen
Generationen Platz gemacht haben. Für den bewegten Organismus war die lange Zeit der Reise nur ein Augenblick,
falls die Bewegung annähernd mit Lichtgeschwindigkeit erfolgte!“
aus: A. Einstein, Die Relativitäts-Theorie, Vierteljahresschrift der Naturforschenden Gesellschaft Zürich, Jahrgang 56, 1911
Leia bleibt zu Hause auf Alderaan, während sich ihr Zwillingsbruder Luke mit seinem fast lichtschnellen
Raumflitzer auf Weltraumreise begibt.
Da in seinem bewegten Raumschiff die Zeit langsamer vergeht, trifft Luke bei seiner Rückkehr eine deutlich
mehr gealterte Leia an.
Einspruch: Relativitätsprinzip! Könnte nicht Luke mit dem gleichen Recht wie Leia behaupten, er sei in
seinem Raumschiff "zu Hause geblieben",
während Leia mitsamt dem Planeten Alderaan eine Spritztour unternahm? Dann wäre Luke beim Wiedersehen
der Ältere.
Es können aber doch nicht beide zur selben Zeit am selben Ort älter als der andere sein.
Sind sie auch nicht. Die Symmetrie zwischen Leia und Luke ist dadurch gebrochen, dass nur Luke beim Starten,
Umkehren und Anhalten durch beschleunigende Kräfte das Inertialsystem wechselt. Nur er wird beim Start in
den Sitz gedrückt. Nur bei ihm
verrutscht während des Umkehrens die Kaffeetasse auf dem Tisch und wackeln die Bilder an der Wand.
In Leias Wohnzimmer(-Sessel) sind keine Trägheitskräfte aufgrund einer Beschleunigung zu spüren.
Leia wechselt ihr Inertialsystem nicht!
Wir können den Sachverhalt mit Hilfe von drei Intertialsystemen veranschaulichen:
System \(I_1\), in dem Leia ruht.
System \(I_2\), in dem Luke beim Hinflug ruht und das sich relativ zu \(I_1\) mit \(v\) bewegt.
System \(I_3\), in dem Luke beim Rückflug ruht und das sich relativ
zu \(I_1\) mit \(-v\) bewegt.
übrigens …
Nicht die Dauer der Beschleunigungsphasen ist für den Altersunterschied entscheidend (sie kann im Vergleich zur Flugzeit mit konstanter Geschwindigkeit
beliebig klein gehalten werden), sondern die Reisestrecke und -geschwindigkeit. Die Beschleunigungen des Reisenden sind zum Wechseln der
Inertialsysteme nötig.
Würden Leia und Luke symmetrisch zu Alderaan voneinander weg und wieder aufeinander zu fliegen, bestünde bei Ihrem Wiedersehen
kein Altersunterschied.
Während die Zeitdilatation hier zu einem bleibenden Effekt führt, bleibt die während der Reise auftretende Längenkontraktion
nach dem Anhalten von Luke nicht erhalten.
Beim Umkehren wechselt Luke von \(I_2\) nach \(I_3\). Dabei ändert sich seine Geschwindigkeit.
Er beschleunigt von \(v\) auf \(-v\).
Seine Uhrzeit nimmt er mit.
Sie könnte durch ein Synchronisierungssignal am Umkehrpunkt übertragen werden.
Leia bleibt die ganze Zeit in \(I_1\).
„Befinden sich in A zwei synchron gehende Uhren und bewegt man die eine derselben auf einer
geschlossenen Kurve
mit konstanter Geschwindigkeit, bis sie wieder nach A zurückkommt, was \(t\) Sek. dauern
möge,
so geht die letztere Uhr bei ihrer Ankunft gegenüber der unbewegt gebliebenen um \(\frac{1}{2}t{\left(v
/ V\right)}^2\)
Sek. nach. Man schließt daraus, daß eine am Erdäquator befindliche Unruhuhr um einen sehr kleinen Betrag langsamer laufen muß
als eine genau gleich beschaffene, sonst gleichen Bedingungen unterworfene, an einem Erdpole befindliche Uhr.
“
