SRT | Zwillingsparadoxon | © C. Wolfseher

Verspätung beim Wiedersehen

„Befinden sich in A zwei synchron gehende Uhren und bewegt man die eine derselben auf einer geschlossenen Kurve mit konstanter Geschwindigkeit, bis sie wieder nach A zurückkommt, was \(t\) Sek. dauern möge, so geht die letztere Uhr bei ihrer Ankunft gegenüber der unbewegt gebliebenen um \(\frac{1}{2}t{\left(v / V\right)}^2\) Sek. nach. Man schließt daraus, daß eine am Erdäquator befindliche Unruhuhr um einen sehr kleinen Betrag langsamer laufen muß als eine genau gleich beschaffene, sonst gleichen Bedingungen unterworfene, an einem Erdpole befindliche Uhr. “

Anmerkung: Einstein verwendete \(V\) als Größensymbol für die Lichtgeschwindigkeit und die Näherung Entwicklung der Wurzel für \(v \ll c\) \(\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}\approx 1-\frac12\left(\frac{v}{c}\right)^2\). Damit gilt für die Eigenzeit der bewegten Uhr \(t'\approx t\left(1-\frac12\left(\frac{v}{c}\right)^2\right)\) und schließlich \(t-t'\approx \frac12\,t\,\left(\frac{v}{c}\right)^2\).

aus: A. Einstein
Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annalen der Physik 17 (1905)

In jedem System gehen also die Uhren eines mit \(v\) vorbeiziehenden Inertialsystems langsamer. Was aber, wenn eine Uhr wieder zu einer bereits passierten zurückkehrt. Welche geht dann bei ihrer Gegenüberstellung nach?

Das Hafele-Keating-Experiment

1971 machten die Physiker J. C. Hafele und R. E. Keating eine Weltreise. Sie flogen mit kommerziellen Linienflugzeugen zweimal um die Erde: einmal in Ostrichtung und einmal in Westrichtung. Im Gepäck hatten sie mehrere Cäsium-Atomuhren. Die auf den Flügen gemessene Zeit wurde anschließend mit den (zuvor synchronisierten) Atomuhren des US Naval Observatory verglichen, die am Boden zurückgeblieben waren.

Da sich die Erde von West nach Ost dreht, bewegen sich die Borduhren beim Ostflug (bezüglich eines gedachten, nicht-rotierenden Inertialsystems im Erdmittelpunkt) schneller als die am Boden. Die Borduhren gehen langsamer als die Bodenuhren. Beim Westflug ist es gerade umgekehrt.

Erstmals konnten so Zeitdilatationen von mehreren Nanosekunden mit makroskopischen Uhren gemessen werden.

Neben der relativistischen Zeitdilatation wurde bei diesem Experiment auch die gravitative der Allgemeinen Relativitätstheorie bestätigt.

, wenn man die Uhren durch Zwillinge ersetzt: Leia bleibt zu Hause auf Alderaan, während sich ihr Zwillingsbruder Luke mit seinem fast lichtschnellen Raumflitzer auf Weltraumreise begibt. Da in seinem bewegten Raumschiff die Zeit langsamer vergeht, trifft Luke bei seiner Rückkehr eine deutlich mehr gealterte Leia an.

Die biologische Uhr

„Man muss hinzufügen, daß das, was für diese Uhr gilt, welche wir als einen einfachen Repräsentanten alles physikalischen Geschehens eingeführt haben, auch gilt für ein in sich abgeschlossenes physikalisches System irgendwelcher anderer Beschaffenheit. Wenn wir z. B. einen lebenden Organismus in eine Schachtel hineinbrächten und ihn dieselbe Hin- und Herbewegung ausführen ließen wie vorher die Uhr, so könnte man es erreichen, daß dieser Organismus nach einem beliebig langen Fluge beliebig wenig geändert wieder an seinem ursprünglichen Ort zurückkehrt, während ganz entsprechend beschaffene Organismen, welche an den ursprünglichen Orten ruhend geblieben sind, bereits längst neuen Generationen Platz gemacht haben. Für den bewegten Organismus war die lange Zeit der Reise nur ein Augenblick, falls die Bewegung annähernd mit Lichtgeschwindigkeit erfolgte!“

aus: A. Einstein, Die Relativitäts-Theorie, Vierteljahresschrift der Naturforschenden Gesellschaft Zürich, Jahrgang 56, 1911

Einspruch: Relativitätsprinzip! Könnte nicht Luke mit dem gleichen Recht wie Leia behaupten, er sei in seinem Raumschiff "zu Hause geblieben", während Leia mitsamt dem Planeten Alderaan eine Spritztour unternahm? Dann wäre Luke beim Wiedersehen der Ältere. Es können aber doch nicht beide zur selben Zeit am selben Ort älter als der andere sein.

Sind sie auch nicht. Die Symmetrie zwischen Leia und Luke ist dadurch gebrochen, dass nur Luke beim Starten, Umkehren und Anhalten durch beschleunigende Kräfte das Inertialsystem wechselt. Nur er wird beim Start in den Sitz gedrückt. Nur bei ihm verrutscht während des Umkehrens die Kaffeetasse auf dem Tisch und wackeln die Bilder an der Wand. In Leias Wohnzimmer(-Sessel) sind keine Trägheitskräfte aufgrund einer Beschleunigung zu spüren. Leia wechselt ihr Inertialsystem nicht!

Wir können den Sachverhalt mit Hilfe von drei Intertialsystemen veranschaulichen:

übrigens …

Nicht die Dauer der Beschleunigungsphasen ist für den Altersunterschied entscheidend (sie kann im Vergleich zur Flugzeit mit konstanter Geschwindigkeit beliebig klein gehalten werden), sondern die Reisestrecke und -geschwindigkeit. Die Beschleunigungen des Reisenden sind zum Wechseln der Inertialsysteme nötig.

Würden Leia und Luke symmetrisch zu Alderaan voneinander weg und wieder aufeinander zu fliegen, bestünde bei Ihrem Wiedersehen kein Altersunterschied.

Während die Zeitdilatation hier zu einem bleibenden Effekt führt, bleibt die während der Reise auftretende Längenkontraktion nach dem Anhalten von Luke nicht erhalten.