Das Ereignis E passiert in Peters Koordinatensystem im Punkt \((x,y,z)\). In Susis Koordinatensystem, das mit der
konstanten Geschwindigkeit \(v\)
entlang Peters \(x\)-Achse fliegt, geschieht E in \((x',y',z')\).
Bezüglich der \(y\)- und \(z\)-Position stimmen Peter und Susi überein. Und da Peter weiß, dass sich E zum Zeitpunkt \(t\)
nach seinem Treffen mit Susi zum Zeitpunkt \(t_0=0\) ereignete, rechnet er:
$$x=v\cdot t+x'$$
Damit kann man Susis Koordinaten jederzeit in Peters umrechnen:
\begin{align}
x &=v\cdot t+x'\\
y &= y'\\
z &= z'\\
\end{align}
Dolmetscher gesucht
„Zu jedem Wertsystem x, y, z, t, welches Ort
und Zeit eines Ereignisses im ruhenden System vollkommen bestimmt, gehört ein jenes
Ereignis relativ zum System k festlegendes Wertsystem
ξ, η, ζ, τ, und es ist nun die Aufgabe zu lösen, das diese Größen
verknüpfende Gleichungssystem zu finden.“
Anmerkung: System k entspricht Susis (bewegtes, gestricheltes) System und
die Koordinaten \(\xi\), \(\eta\), \(\zeta\), \(\tau\) ihren
Koordinaten \(x'\), \(y'\), \(z'\), \(t'\).
aus: A. Einstein Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annalen der Physik 17 (1905)
Dies ist die sogenannte
Galilei-Transformation
Erinnere dich an Galileis Geschichte mit dem Schiff..
Halt, halt, halt! Galilei wusste ja noch nichts von Einstein. Wir haben die Rechnung ohne die Längenkontraktion und ohne die Zeitdilatation
gemacht. Peter misst Susis Maßstab \(x'\)
längenkontrahiert
Maßstäbe in \(y\)- und \(z\)-Richtung senkrecht zur Bewegungsrichtung werden nicht verkürzt.:
$$x=v\cdot t+x'\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2} \qquad \text{(Peter)} $$
In Susis Inertialsystem passiert E zum Zeitpunkt \(t'\ne t\). Peter hat seit ihrem Treffen die Strecke \(v \cdot t'\) zurückgelegt (in negativer \(x'\)-Richtung).
Zudem misst Susi Peters Maßstab \(x\) längenkontrahiert:
Die Zahl \(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}\) ist uns schon als Lorentzfaktor begegnet.
Tatsächlich hat Hendrik Antoon Lorentz schon vor 1905
diese Umrechnungsformeln bei Untersuchungen zur Elektrodynamik entwickelt, sie aber nicht wie Einstein gedeutet.
Bewegen sich zwei Inertialsysteme \(I\) und \(I'\) mit der Geschwindigkeit \(v\) in \(x\)-Richtung gegeneinander,
so können die Koordinaten (\(x,y,z,t)\) eines Ereignisses mit den Lorentz-Transformationsgleichungen
ineinander umgerechnet werden:
\begin{align}
x &=\gamma\left(v\cdot t'+x'\right)\\
y &= y'\\
z &= z'\\
t &= \gamma\left(t'+\frac{v}{c^2}x'\right)
\end{align}
Raum- und Zeitkoordinaten dürfen nicht mehr getrennt voneinander betrachtet werden. Sie verschmelzen zur
4-dimensionalen
Raumzeit
Ein Vorgeschmack auf die Raumzeit der Allgemeinen Relativitätstheorie..
In diesen Gleichungen steckt alles, was wir bisher erforscht haben — beispielsweise die Zeitdilatation:
Susi kocht im Zugrestaurant Spaghetti. Zum Zeitpunkt \(t'_1\) stellt sie den Küchenwecker auf 9 min und gibt die Nudeln
ins Kochwasser. Um \(t'_2\) klingelt der Wecker und die Spaghetti sind perfekt al dente.
In Peters System Bahnhof fährt der Zug mit der Geschwindigkeit \(v\). Der Kochvorgang dauert gemäß Lorentz-Transformation
$$t_2-t_1=\gamma\left(t_2'+\frac{v}{c^2}x'_2\right)-\gamma\left(t_1'+\frac{v}{c^2}x_1'\right).$$
Da in Susis Zug der Kochtopf
fortwährend auf der Herdplatte steht
während er an Peter mit \(v\) vorbeisaust, gilt \(x'_1=x'_2\) und die Gleichung vereinfacht sich zu
$$t_2-t_1 = \gamma \, (t'_2-t'_1)$$
Das ist die Zeitdilatation \(\Delta t = \gamma \cdot \Delta t'\). Da Susi mit dem Einstein-Express mit \(v=0,8 \, c\) fährt,
gilt \(\gamma =\frac{5}{3}\) und Peter wundert sich, dass die Nudeln nach 15 min Kochzeit nicht matschig sind.
P. S.: Wollen die beiden gemeinsam Abendessen, muss Susi anhalten und Peter
12 Lichtminuten
216 Millionen Kilometer von \(x_1\) nach \(x_2\) reisen
(wo seine synchronisierten Uhren jeweils \(t_1\) und \(t_2\) registriert haben) und die Spaghetti sind kalt.
Doch die Lorentz-Transformation kann noch mehr. Sie verhilft uns zur — wie ich finde — faszinierendsten Formel der SRT.
Wir kommen zum Titelbild unseres Kurses …
„Zu jedem Wertsystem x, y, z, t, welches Ort
und Zeit eines Ereignisses im ruhenden System vollkommen bestimmt, gehört ein jenes
Ereignis relativ zum System k festlegendes Wertsystem
ξ, η, ζ, τ, und es ist nun die Aufgabe zu lösen, das diese Größen
verknüpfende Gleichungssystem zu finden.“